Номер 521, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 521, страница 123.

521. Разложите на простые множители число а, если

а = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10.

Для того чтобы разложить число $a$ на простые множители, нужно представить каждый из его сомножителей в виде произведения простых чисел, а затем объединить их.

Дано число $a$, которое является произведением натуральных чисел от 1 до 10:

$a = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Это выражение также известно как факториал десяти и обозначается как $10!$.

Разложим на простые множители каждый составной сомножитель в этом произведении:

• $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$

Числа 2, 3, 5 и 7 уже являются простыми. Множитель 1 не влияет на результат.

Теперь заменим составные числа в исходном выражении их разложениями на простые множители:

$a = 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5)$

Сгруппируем одинаковые простые множители, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

• Считаем количество множителей 2: $2^1$ от числа 2, $2^2$ от числа 4, $2^1$ от числа 6, $2^3$ от числа 8, $2^1$ от числа 10. Итоговая степень для 2 будет $1+2+1+3+1=8$. Получаем $2^8$.
• Считаем количество множителей 3: $3^1$ от числа 3, $3^1$ от числа 6, $3^2$ от числа 9. Итоговая степень для 3 будет $1+1+2=4$. Получаем $3^4$.
• Считаем количество множителей 5: $5^1$ от числа 5, $5^1$ от числа 10. Итоговая степень для 5 будет $1+1=2$. Получаем $5^2$.
• Считаем количество множителей 7: $7^1$ от числа 7. Получаем $7^1$ или просто $7$.

Объединив все, получаем каноническое разложение числа $a$ на простые множители:

$a = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1$

Ответ: $a = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$.