Номер 515, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

515. Приведите контрпример для утверждения:

а) значение выражения а² + а + 17 при любом значении а является простым числом;

б) не существует такого натурального числа, которое является делителем любого натурального числа.

а) значение выражения $a^2+a+17$ при любом значении $a$ является простым числом;

Чтобы опровергнуть данное утверждение, необходимо найти хотя бы одно значение $a$, при котором результат выражения $a^2+a+17$ будет составным числом. Составное число — это натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя.

Давайте проверим некоторые значения $a$, начиная с малых натуральных чисел (будем считать, что $a$ — натуральное число или 0).

• При $a=0$: $0^2+0+17 = 17$ (простое число).
• При $a=1$: $1^2+1+17 = 19$ (простое число).
• При $a=2$: $2^2+2+17 = 4+2+17 = 23$ (простое число).

Заметим, что выражение можно представить в виде $a(a+1)+17$. Чтобы результат был составным, можно попытаться сделать его кратным 17. Это произойдет, если произведение $a(a+1)$ будет делиться на 17. Поскольку 17 — простое число, это возможно, если либо $a$ кратно 17, либо $a+1$ кратно 17.

Рассмотрим случай, когда $a+1$ кратно 17. Возьмем $a+1=17$, то есть $a=16$.
Подставим $a=16$ в исходное выражение: $16^2+16+17 = 256+16+17 = 289$.

Число 289 является составным, так как оно равно $17 \times 17$.

Другой возможный контрпример: возьмем $a=17$.
$17^2+17+17 = 17 \times (17+1+1) = 17 \times 19$.
Результат также является составным числом.

Таким образом, утверждение, что выражение $a^2+a+17$ всегда дает простое число, неверно.

Ответ: контрпримером является $a=16$, так как при этом значении выражение равно $16^2+16+17=289$, а 289 — составное число ($289 = 17^2$).

б) не существует такого натурального числа, которое является делителем любого натурального числа.

Это утверждение о несуществовании. Чтобы его опровергнуть, нужно привести пример такого натурального числа, которое докажет, что оно существует. Иными словами, нужно найти натуральное число, которое является делителем любого натурального числа.

Натуральные числа — это числа, используемые при счёте: 1, 2, 3, ...

Рассмотрим число 1. По определению, число $n$ является делителем числа $m$, если существует такое целое число $k$, что $m = n \cdot k$.

Проверим, является ли 1 делителем любого натурального числа $m$. Для любого натурального $m$ (например, $m=1, 2, 3, 4, ...$) справедливо равенство: $m = 1 \cdot m$

Так как любое натуральное число $m$ является целым, то число 1 по определению является делителем любого натурального числа.

Следовательно, существует натуральное число (а именно, 1), которое является делителем любого натурального числа. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: контрпримером является число 1. Оно натуральное и является делителем любого натурального числа.