Номер 519, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 519, страница 123.

519. Найдите все простые числа, на которые делится сумма:

a) 2 + 2² + 2³ + 2⁴; б) 5 + 5² + 5³ + 5⁴.

а) Чтобы найти все простые числа, на которые делится сумма, сначала вычислим значение этой суммы. Удобнее всего это сделать, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3)$.
Теперь вычислим сумму в скобках:
$1 + 2 + 4 + 8 = 15$.
Таким образом, исходная сумма равна $S = 2 \times 15$.
Далее, разложим полученное число на простые множители. Поскольку $15 = 3 \times 5$, получаем полное разложение суммы:
$S = 2 \times 3 \times 5$.
Простыми делителями этой суммы являются все простые множители из ее разложения, то есть числа 2, 3 и 5.
Ответ: 2, 3, 5.

б) Аналогично предыдущему пункту, вычислим вторую сумму, вынеся за скобки общий множитель 5:
$S = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 = 5(1 + 5 + 5^2 + 5^3)$.
Вычислим сумму в скобках:
$1 + 5 + 25 + 125 = 156$.
Следовательно, исходная сумма равна $S = 5 \times 156$.
Теперь разложим число 156 на простые множители:
$156 = 2 \times 78 = 2 \times (2 \times 39) = 2^2 \times 3 \times 13$.
Тогда полное разложение суммы на простые множители выглядит так:
$S = 2^2 \times 3 \times 5 \times 13$.
Простыми делителями этой суммы являются числа 2, 3, 5 и 13.
Ответ: 2, 3, 5, 13.