Номер 519, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. Параграф 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 519, страница 123.

Условие.

519. Найдите все простые числа, на которые делится сумма:

a) 2 + 2² + 2³ + 2⁴; б) 5 + 5² + 5³ + 5⁴.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти все простые числа, на которые делится сумма, сначала вычислим значение этой суммы. Удобнее всего это сделать, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3)$.
Теперь вычислим сумму в скобках:
$1 + 2 + 4 + 8 = 15$.
Таким образом, исходная сумма равна $S = 2 \times 15$.
Далее, разложим полученное число на простые множители. Поскольку $15 = 3 \times 5$, получаем полное разложение суммы:
$S = 2 \times 3 \times 5$.
Простыми делителями этой суммы являются все простые множители из ее разложения, то есть числа 2, 3 и 5.
Ответ: 2, 3, 5.

б) Аналогично предыдущему пункту, вычислим вторую сумму, вынеся за скобки общий множитель 5:
$S = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 = 5(1 + 5 + 5^2 + 5^3)$.
Вычислим сумму в скобках:
$1 + 5 + 25 + 125 = 156$.
Следовательно, исходная сумма равна $S = 5 \times 156$.
Теперь разложим число 156 на простые множители:
$156 = 2 \times 78 = 2 \times (2 \times 39) = 2^2 \times 3 \times 13$.
Тогда полное разложение суммы на простые множители выглядит так:
$S = 2^2 \times 3 \times 5 \times 13$.
Простыми делителями этой суммы являются числа 2, 3, 5 и 13.
Ответ: 2, 3, 5, 13.