Страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

515. Приведите контрпример для утверждения:

а) значение выражения а² + а + 17 при любом значении а является простым числом;

б) не существует такого натурального числа, которое является делителем любого натурального числа.

а) значение выражения $a^2+a+17$ при любом значении $a$ является простым числом;

Чтобы опровергнуть данное утверждение, необходимо найти хотя бы одно значение $a$, при котором результат выражения $a^2+a+17$ будет составным числом. Составное число — это натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого себя.

Давайте проверим некоторые значения $a$, начиная с малых натуральных чисел (будем считать, что $a$ — натуральное число или 0).

• При $a=0$: $0^2+0+17 = 17$ (простое число).
• При $a=1$: $1^2+1+17 = 19$ (простое число).
• При $a=2$: $2^2+2+17 = 4+2+17 = 23$ (простое число).

Заметим, что выражение можно представить в виде $a(a+1)+17$. Чтобы результат был составным, можно попытаться сделать его кратным 17. Это произойдет, если произведение $a(a+1)$ будет делиться на 17. Поскольку 17 — простое число, это возможно, если либо $a$ кратно 17, либо $a+1$ кратно 17.

Рассмотрим случай, когда $a+1$ кратно 17. Возьмем $a+1=17$, то есть $a=16$.
Подставим $a=16$ в исходное выражение: $16^2+16+17 = 256+16+17 = 289$.

Число 289 является составным, так как оно равно $17 \times 17$.

Другой возможный контрпример: возьмем $a=17$.
$17^2+17+17 = 17 \times (17+1+1) = 17 \times 19$.
Результат также является составным числом.

Таким образом, утверждение, что выражение $a^2+a+17$ всегда дает простое число, неверно.

Ответ: контрпримером является $a=16$, так как при этом значении выражение равно $16^2+16+17=289$, а 289 — составное число ($289 = 17^2$).

б) не существует такого натурального числа, которое является делителем любого натурального числа.

Это утверждение о несуществовании. Чтобы его опровергнуть, нужно привести пример такого натурального числа, которое докажет, что оно существует. Иными словами, нужно найти натуральное число, которое является делителем любого натурального числа.

Натуральные числа — это числа, используемые при счёте: 1, 2, 3, ...

Рассмотрим число 1. По определению, число $n$ является делителем числа $m$, если существует такое целое число $k$, что $m = n \cdot k$.

Проверим, является ли 1 делителем любого натурального числа $m$. Для любого натурального $m$ (например, $m=1, 2, 3, 4, ...$) справедливо равенство: $m = 1 \cdot m$

Так как любое натуральное число $m$ является целым, то число 1 по определению является делителем любого натурального числа.

Следовательно, существует натуральное число (а именно, 1), которое является делителем любого натурального числа. Это опровергает исходное утверждение.

Ответ: контрпримером является число 1. Оно натуральное и является делителем любого натурального числа.

516. Докажите, что значение выражения является составным числом:

а) 15⁹ + 31³; б) 16⁷ + 25⁵ − 41⁴.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $15^9 + 31^3$ является составным, достаточно показать, что оно имеет делитель, отличный от 1 и самого себя. Число 15 является нечетным, поэтому любая его натуральная степень, в том числе $15^9$, также является нечетным числом. Аналогично, число 31 нечетное, и его степень $31^3$ тоже нечетная. Сумма двух нечетных чисел ($15^9$ и $31^3$) является четным числом. Так как $15^9 > 2$ и $31^3 > 0$, их сумма $15^9 + 31^3$ — это четное число, большее 2. Любое четное число, большее 2, делится на 2, следовательно, является составным. Ответ: Значение выражения $15^9 + 31^3$ является четным числом, большим 2, и поэтому является составным.

б) Для доказательства того, что значение выражения $16^7 + 25^5 - 41^4$ является составным, проанализируем его последнюю цифру.

• Последняя цифра числа $16^7$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6.
• Последняя цифра числа $25^5$: любая натуральная степень (больше 1) числа, оканчивающегося на 5, оканчивается на 5.
• Последняя цифра числа $41^4$: любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, оканчивается на 1.

Последняя цифра суммы $16^7 + 25^5$ равна последней цифре суммы $6+5=11$, то есть 1.Последняя цифра всего выражения $16^7 + 25^5 - 41^4$ равна последней цифре разности $(...1) - (...1)$, то есть 0.Число, оканчивающееся на 0, делится на 10. Необходимо убедиться, что результат не равен нулю и больше 10. Сравним $16^7$ и $41^4$. Так как $16^7 = (2^4)^7 = 2^{28}$, а $41^4 < 64^4 = (2^6)^4 = 2^{24}$, то очевидно, что $16^7 > 41^4$. Следовательно, $16^7 - 41^4 > 0$, и всё выражение $(16^7 - 41^4) + 25^5$ является положительным числом.Поскольку значение выражения — это положительное целое число, оканчивающееся на 0, оно делится на 10 и, очевидно, больше 10, а значит, является составным. Ответ: Значение выражения $16^7 + 25^5 - 41^4$ является положительным целым числом, оканчивающимся на 0, поэтому оно делится на 10 и является составным.

517. Найдите наибольшее двузначное число, равное произведению двух простых чисел.

Цель задачи — найти наибольшее двузначное число, которое можно представить в виде произведения двух простых чисел. Двузначные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя.

Для решения задачи будем проверять двузначные числа в порядке убывания, начиная с 99, пока не найдем первое, удовлетворяющее условию.

1. Проверим число 99.
Разложим 99 на простые множители: $99 = 3 \times 33 = 3 \times 3 \times 11$. Число 99 является произведением трёх простых чисел (3, 3 и 11), а не двух. Следовательно, оно не подходит.

2. Проверим число 98.
Разложим 98 на простые множители: $98 = 2 \times 49 = 2 \times 7 \times 7$. Число 98 также является произведением трёх простых чисел (2, 7 и 7). Оно не подходит.

3. Проверим число 97.
Число 97 является простым. Чтобы это проверить, достаточно убедиться, что оно не делится на простые числа, не превосходящие $\sqrt{97} \approx 9.8$. Такими простыми числами являются 2, 3, 5, 7. Число 97 не делится ни на одно из них. Так как 97 — простое число, его нельзя представить как произведение двух простых чисел.

4. Проверим число 96.
Разложим 96 на простые множители: $96 = 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 24 = 2^5 \times 3$. Это произведение шести простых чисел, что не соответствует условию.

5. Проверим число 95.
Разложим 95 на множители. Поскольку число оканчивается на 5, оно делится на 5: $95 = 5 \times 19$.
Проверим множители:

• 5 — простое число.
• 19 — простое число.

Число 95 является произведением двух простых чисел.

Так как мы проверяли числа в порядке убывания, первое найденное число (95), удовлетворяющее условию, является наибольшим.

Ответ: 95

518. Пусть p − простое число. Укажите наименьшее значение p, при котором значение выражения 2^p − 1 не является простым числом.

По условию задачи, $p$ — простое число. Требуется найти наименьшее значение $p$, при котором выражение $2^p - 1$ не является простым числом, то есть является составным. Для этого будем последовательно проверять простые числа в порядке возрастания, начиная с наименьшего.

Ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

1. Проверим наименьшее простое число $p=2$:
$2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
Число 3 является простым.

2. Проверим следующее простое число $p=3$:
$2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.
Число 7 является простым.

3. Проверим $p=5$:
$2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.
Число 31 является простым.

4. Проверим $p=7$:
$2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.
Число 127 также является простым.

5. Проверим следующее простое число $p=11$:
$2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047$.
Теперь нужно проверить, является ли число 2047 простым. Для этого попробуем найти его делители. Будем последовательно проверять деление на простые числа. $2047$ не делится на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Проверим деление на 23: $2047 \div 23 = 89$.
Таким образом, мы нашли разложение числа: $2047 = 23 \times 89$. Поскольку число 2047 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, оно является составным.

Следовательно, наименьшее простое число $p$, при котором выражение $2^p - 1$ не является простым, — это $p = 11$.

Ответ: 11.

519. Найдите все простые числа, на которые делится сумма:

a) 2 + 2² + 2³ + 2⁴; б) 5 + 5² + 5³ + 5⁴.

а) Чтобы найти все простые числа, на которые делится сумма, сначала вычислим значение этой суммы. Удобнее всего это сделать, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3)$.
Теперь вычислим сумму в скобках:
$1 + 2 + 4 + 8 = 15$.
Таким образом, исходная сумма равна $S = 2 \times 15$.
Далее, разложим полученное число на простые множители. Поскольку $15 = 3 \times 5$, получаем полное разложение суммы:
$S = 2 \times 3 \times 5$.
Простыми делителями этой суммы являются все простые множители из ее разложения, то есть числа 2, 3 и 5.
Ответ: 2, 3, 5.

б) Аналогично предыдущему пункту, вычислим вторую сумму, вынеся за скобки общий множитель 5:
$S = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 = 5(1 + 5 + 5^2 + 5^3)$.
Вычислим сумму в скобках:
$1 + 5 + 25 + 125 = 156$.
Следовательно, исходная сумма равна $S = 5 \times 156$.
Теперь разложим число 156 на простые множители:
$156 = 2 \times 78 = 2 \times (2 \times 39) = 2^2 \times 3 \times 13$.
Тогда полное разложение суммы на простые множители выглядит так:
$S = 2^2 \times 3 \times 5 \times 13$.
Простыми делителями этой суммы являются числа 2, 3, 5 и 13.
Ответ: 2, 3, 5, 13.

520. Разложите на простые множители число: а) 5082; б) 7605.

а) Разложим на простые множители число 5082.

Для разложения числа на простые множители будем последовательно делить его на наименьшие возможные простые делители.

1. Число 5082 является чётным, так как его последняя цифра 2. Следовательно, оно делится на 2:
$5082 \div 2 = 2541$

2. Полученное число 2541 нечётное. Проверим его на делимость на 3. Сумма цифр числа $2+5+4+1=12$. Так как 12 делится на 3, то и 2541 делится на 3:
$2541 \div 3 = 847$

3. Проверим делимость числа 847 на следующие простые числа. Сумма его цифр $8+4+7=19$, значит, оно не делится на 3. Оно не оканчивается на 0 или 5, значит, не делится на 5. Проверим делимость на 7:
$847 \div 7 = 121$

4. Число 121 — это квадрат простого числа 11:
$121 = 11 \times 11 = 11^2$

Собрав все множители, получаем разложение числа 5082:
$5082 = 2 \times 3 \times 7 \times 11 \times 11$

Ответ: $5082 = 2 \times 3 \times 7 \times 11^2$.

б) Разложим на простые множители число 7605.

1. Число 7605 нечётное. Проверим его на делимость на 3. Сумма цифр числа $7+6+0+5=18$. Так как 18 делится на 3, то и 7605 делится на 3:
$7605 \div 3 = 2535$

2. Проверим делимость полученного числа 2535 на 3. Сумма его цифр $2+5+3+5=15$. Так как 15 делится на 3, то и 2535 делится на 3:
$2535 \div 3 = 845$

3. Число 845 не делится на 3 (сумма цифр $8+4+5=17$). Оно оканчивается на 5, следовательно, делится на 5:
$845 \div 5 = 169$

4. Число 169 — это квадрат простого числа 13:
$169 = 13 \times 13 = 13^2$

Собрав все множители, получаем разложение числа 7605:
$7605 = 3 \times 3 \times 5 \times 13 \times 13$

Ответ: $7605 = 3^2 \times 5 \times 13^2$.

521. Разложите на простые множители число а, если

Для того чтобы разложить число $a$ на простые множители, нужно представить каждый из его сомножителей в виде произведения простых чисел, а затем объединить их.

Дано число $a$, которое является произведением натуральных чисел от 1 до 10:

$a = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Это выражение также известно как факториал десяти и обозначается как $10!$.

Разложим на простые множители каждый составной сомножитель в этом произведении:

• $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$

Числа 2, 3, 5 и 7 уже являются простыми. Множитель 1 не влияет на результат.

Теперь заменим составные числа в исходном выражении их разложениями на простые множители:

$a = 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5)$

Сгруппируем одинаковые простые множители, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

• Считаем количество множителей 2: $2^1$ от числа 2, $2^2$ от числа 4, $2^1$ от числа 6, $2^3$ от числа 8, $2^1$ от числа 10. Итоговая степень для 2 будет $1+2+1+3+1=8$. Получаем $2^8$.
• Считаем количество множителей 3: $3^1$ от числа 3, $3^1$ от числа 6, $3^2$ от числа 9. Итоговая степень для 3 будет $1+1+2=4$. Получаем $3^4$.
• Считаем количество множителей 5: $5^1$ от числа 5, $5^1$ от числа 10. Итоговая степень для 5 будет $1+1=2$. Получаем $5^2$.
• Считаем количество множителей 7: $7^1$ от числа 7. Получаем $7^1$ или просто $7$.

Объединив все, получаем каноническое разложение числа $a$ на простые множители:

$a = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1$

Ответ: $a = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$.

522. Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 765 и 315;
б) 792 и 1936.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, разложим каждое из них на простые множители. Затем найдем произведение их общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения.

а) 765 и 315

1. Разложим число 765 на простые множители:
$765 = 3 \cdot 255 = 3 \cdot 3 \cdot 85 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 = 3^2 \cdot 5 \cdot 17$

2. Разложим число 315 на простые множители:
$315 = 3 \cdot 105 = 3 \cdot 3 \cdot 35 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$

3. Общими множителями в разложениях являются $3$ и $5$. Наименьшая степень, в которой множитель $3$ входит в оба разложения, это $2$ (т.е. $3^2$). Наименьшая степень для множителя $5$ — это $1$ (т.е. $5^1$).

4. Перемножим эти общие множители в найденных степенях:
НОД(765, 315) = $3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.

Ответ: 45

б) 792 и 1936

1. Разложим число 792 на простые множители:
$792 = 2 \cdot 396 = 2 \cdot 2 \cdot 198 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 99 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$

2. Разложим число 1936 на простые множители:
$1936 = 2 \cdot 968 = 2 \cdot 2 \cdot 484 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 242 = 2^4 \cdot 121 = 2^4 \cdot 11^2$

3. Общими множителями в разложениях являются $2$ и $11$. Наименьшая степень для множителя $2$ — это $3$ (т.е. $2^3$). Наименьшая степень для множителя $11$ — это $1$ (т.е. $11^1$).

4. Перемножим эти общие множители в найденных степенях:
НОД(792, 1936) = $2^3 \cdot 11 = 8 \cdot 11 = 88$.

Ответ: 88

523. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 294 и 756;
б) 693 и 1617.

а) Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 294 и 756, разложим их на простые множители.
Разложение числа 294 на простые множители:
$294 | 2$
$147 | 3$
$49 | 7$
$7 | 7$
$1$
Таким образом, $294 = 2 \cdot 3 \cdot 7^2$.
Разложение числа 756 на простые множители:
$756 | 2$
$378 | 2$
$189 | 3$
$63 | 3$
$21 | 3$
$7 | 7$
$1$
Таким образом, $756 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$.
Теперь, чтобы найти НОК, возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях:
Наибольшая степень для 2 это $2^2$.
Наибольшая степень для 3 это $3^3$.
Наибольшая степень для 7 это $7^2$.
$НОК(294, 756) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^2 = 4 \cdot 27 \cdot 49 = 108 \cdot 49 = 5292$.
Ответ: 5292

б) Аналогично найдем наименьшее общее кратное для чисел 693 и 1617.
Разложим число 693 на простые множители:
$693 | 3$
$231 | 3$
$77 | 7$
$11 | 11$
$1$
Таким образом, $693 = 3^2 \cdot 7 \cdot 11$.
Разложим число 1617 на простые множители:
$1617 | 3$
$539 | 7$
$77 | 7$
$11 | 11$
$1$
Таким образом, $1617 = 3 \cdot 7^2 \cdot 11$.
Теперь найдем НОК, взяв каждый простой множитель в наибольшей степени:
Наибольшая степень для 3 это $3^2$.
Наибольшая степень для 7 это $7^2$.
Наибольшая степень для 11 это $11^1$.
$НОК(693, 1617) = 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11 = 9 \cdot 49 \cdot 11 = 441 \cdot 11 = 4851$.
Ответ: 4851

524. В последовательностях записаны в порядке возрастания все натуральные числа, которые не превосходят 200, причём в первой последовательности записаны числа, кратные 6, а во второй − кратные 8:

6, 12, 18, ...;

8, 16, 24, ... .

Сколько в этих последовательностях одинаковых чисел?

В задаче даны две последовательности натуральных чисел, не превосходящих 200. Первая последовательность содержит числа, кратные 6, а вторая — числа, кратные 8. Нам нужно найти количество одинаковых чисел в этих двух последовательностях.

Число является одинаковым для обеих последовательностей, если оно делится и на 6, и на 8. Такие числа являются общими кратными для 6 и 8. Чтобы найти все такие числа, нужно сначала найти их Наименьшее Общее Кратное (НОК).

Найдем НОК для чисел 6 и 8. Для этого разложим их на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$

НОК(6, 8) равно произведению всех простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях.
$НОК(6, 8) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$.

Это означает, что все одинаковые числа в двух последовательностях кратны 24. Теперь нам нужно посчитать, сколько таких чисел (кратных 24) находится в диапазоне от 1 до 200 включительно.

Для этого разделим верхнюю границу диапазона (200) на 24 и возьмем целую часть от результата, так как нас интересует количество полных вхождений числа 24 в 200.
$200 \div 24$

Выполним деление:
$\frac{200}{24} = \frac{100}{12} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3}$

Целая часть от деления равна 8. Это означает, что в диапазоне до 200 существует 8 чисел, кратных 24. Это числа: 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192. Каждое из этих чисел кратно и 6, и 8, и не превосходит 200.

Следовательно, в этих двух последовательностях 8 одинаковых чисел.
Ответ: 8

525. Какой цифрой оканчивается значение выражения:

а) Чтобы найти последнюю цифру значения выражения $45^5 - 31^4$, нам нужно определить последнюю цифру каждого из чисел, входящих в это выражение, и затем найти последнюю цифру их разности.

1. Найдем последнюю цифру числа $45^5$.
Последняя цифра любого натурального числа, оканчивающегося на 5, при возведении в любую натуральную степень, также будет 5. Это следует из того, что $5 \times 5 = 25$, $25 \times 5 = 125$ и так далее. Таким образом, число $45^5$ оканчивается на цифру 5.

2. Найдем последнюю цифру числа $31^4$.
Аналогично, последняя цифра любого натурального числа, оканчивающегося на 1, при возведении в любую натуральную степень, будет 1. Это следует из того, что $1 \times 1 = 1$. Таким образом, число $31^4$ оканчивается на цифру 1.

3. Найдем последнюю цифру разности.
Последняя цифра значения выражения $45^5 - 31^4$ будет равна последней цифре разности последних цифр уменьшаемого и вычитаемого. То есть, последняя цифра от $...5 - ...1$.
$5 - 1 = 4$.
Следовательно, значение выражения оканчивается на цифру 4.

Ответ: 4

б) Чтобы найти последнюю цифру значения выражения $37^2 + 21^6 + 45^4$, найдем последнюю цифру каждого слагаемого и затем последнюю цифру их суммы.

1. Найдем последнюю цифру числа $37^2$.
Последняя цифра этого числа совпадает с последней цифрой числа $7^2$.
$7^2 = 49$.
Следовательно, число $37^2$ оканчивается на цифру 9.

2. Найдем последнюю цифру числа $21^6$.
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также оканчивается на 1. Таким образом, число $21^6$ оканчивается на цифру 1.

3. Найдем последнюю цифру числа $45^4$.
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 5, также оканчивается на 5. Таким образом, число $45^4$ оканчивается на цифру 5.

4. Найдем последнюю цифру суммы.
Чтобы найти последнюю цифру значения выражения, сложим последние цифры каждого слагаемого: $9 + 1 + 5 = 15$.
Последняя цифра полученной суммы (15) — это 5.
Следовательно, значение выражения $37^2 + 21^6 + 45^4$ оканчивается на цифру 5.

Ответ: 5