Страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

566. При каком условии:

а) сумма квадратов двух чисел равна нулю;

б) квадрат суммы двух чисел равен нулю?

Пусть даны два числа, которые мы обозначим как a и b. Сумма их квадратов — это выражение $a^2 + b^2$. Согласно условию, эта сумма равна нулю, что можно записать в виде уравнения: $a^2 + b^2 = 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Это означает, что $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$ для любых действительных a и b.

Сумма двух неотрицательных чисел ($a^2$ и $b^2$) может быть равна нулю только в одном случае: когда каждое из слагаемых равно нулю. Если бы хотя бы одно из слагаемых было положительным, то и вся сумма была бы положительной.

Таким образом, для выполнения равенства $a^2 + b^2 = 0$ необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия: $a^2 = 0$ и $b^2 = 0$.

Из условия $a^2 = 0$ следует, что $a = 0$. Аналогично, из $b^2 = 0$ следует, что $b = 0$.

Ответ: Сумма квадратов двух чисел равна нулю при условии, что каждое из этих чисел равно нулю.

Пусть даны два числа, a и b. Их сумма — это выражение $a + b$. Квадрат их суммы — это $(a + b)^2$. Согласно условию, это выражение равно нулю: $(a + b)^2 = 0$.

Квадрат какого-либо числа равен нулю тогда и только тогда, когда само это число равно нулю. В нашем случае, если квадрат суммы равен нулю, это означает, что сама сумма должна быть равна нулю.

Следовательно, из уравнения $(a + b)^2 = 0$ вытекает, что $a + b = 0$.

Это условие означает, что числа a и b должны быть противоположными друг другу, то есть $a = -b$. Например, пары чисел (5 и -5) или (-7.5 и 7.5) удовлетворяют этому условию. Частным случаем является пара (0 и 0), так как $0 + 0 = 0$.

Ответ: Квадрат суммы двух чисел равен нулю при условии, что сумма этих чисел равна нулю (то есть, если числа являются противоположными).

567. Натуральное число а оканчивается единицей. Какой цифрой оканчивается степень числа а с натуральным показателем? Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?

Какой цифрой оканчивается степень числа a с натуральным показателем?

Последняя цифра произведения чисел зависит только от последних цифр множителей. Пусть натуральное число $a$ оканчивается на 1. Это значит, что его можно представить в виде $a = 10k + 1$ для некоторого целого неотрицательного числа $k$.

Рассмотрим натуральные степени числа $a$:

• $a^1 = a$ по условию оканчивается на 1.
• $a^2 = a \cdot a$. Чтобы найти последнюю цифру произведения, нужно перемножить последние цифры сомножителей: $1 \cdot 1 = 1$. Значит, $a^2$ оканчивается на 1.
• $a^3 = a^2 \cdot a$. Последняя цифра $a^2$ — это 1, последняя цифра $a$ — это 1. Значит, последняя цифра $a^3$ будет $1 \cdot 1 = 1$.

Этот процесс можно продолжить для любой натуральной степени $n$. Поскольку на каждом шаге мы умножаем число, оканчивающееся на 1, на число, оканчивающееся на 1, результат всегда будет оканчиваться на 1. Таким образом, любая натуральная степень числа $a$ будет оканчиваться на 1.

Ответ: Степень числа $a$ с натуральным показателем всегда оканчивается цифрой 1.

Для каких ещё цифр выполняется аналогичное свойство?

Аналогичное свойство означает, что если число оканчивается на некоторую цифру $d$, то любая его натуральная степень также оканчивается на ту же цифру $d$. Нам нужно найти все цифры $d$, для которых последняя цифра числа $d^n$ равна $d$ при любом натуральном $n$.

Для этого достаточно проверить, чтобы последняя цифра квадрата цифры, $d^2$, была равна самой цифре $d$. Если это условие выполняется, то последняя цифра $d^3 = d^2 \cdot d$ будет такой же, как последняя цифра $d \cdot d$, то есть снова $d$, и так далее для всех больших степеней.

Проверим все цифры от 0 до 9:

• Цифра 0: $0^2=0$. Свойство выполняется. Любое число, оканчивающееся на 0, при возведении в натуральную степень даст число, оканчивающееся на 0.
• Цифра 1: $1^2=1$. Свойство выполняется, что мы уже установили в первой части.
• Цифра 2: $2^2=4$. Последняя цифра изменилась. Не подходит.
• Цифра 3: $3^2=9$. Последняя цифра изменилась. Не подходит.
• Цифра 4: $4^2=16$. Последняя цифра 6. Изменилась. Не подходит.
• Цифра 5: $5^2=25$. Последняя цифра 5. Свойство выполняется.
• Цифра 6: $6^2=36$. Последняя цифра 6. Свойство выполняется.
• Цифра 7: $7^2=49$. Последняя цифра 9. Изменилась. Не подходит.
• Цифра 8: $8^2=64$. Последняя цифра 4. Изменилась. Не подходит.
• Цифра 9: $9^2=81$. Последняя цифра 1. Изменилась. Не подходит.

Таким образом, свойство выполняется для цифр 0, 1, 5 и 6.

Ответ: Аналогичное свойство выполняется для цифр 0, 5 и 6.

568. Докажите, что при любом натуральном k:

а) число 3^4k оканчивается единицей;

б) число 10^k − 1 кратно 3.

а)

Чтобы доказать, что число $3^{4k}$ оканчивается единицей при любом натуральном $k$, можно использовать два подхода.

Способ 1: Анализ последней цифры.

Рассмотрим, на какую цифру оканчиваются первые несколько натуральных степеней числа 3:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
• $3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
• $3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Видно, что последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Показатель степени в выражении $3^{4k}$ равен $4k$. Так как $k$ — натуральное число, то $4k$ всегда является числом, кратным 4. Это означает, что для любой степени вида $4k$ последняя цифра будет такой же, как у $3^4$, то есть 1.

Способ 2: Преобразование выражения.

Воспользуемся свойством степеней: $a^{mn} = (a^m)^n$.

$3^{4k} = (3^4)^k$

Вычислим значение $3^4$:

$3^4 = 81$

Тогда исходное выражение можно записать как $81^k$. Любое целое число, оканчивающееся на 1, при возведении в любую натуральную степень также будет оканчиваться на 1. Это легко показать: если число имеет вид $10n + 1$, то его квадрат $(10n + 1)^2 = 100n^2 + 20n + 1 = 10(10n^2 + 2n) + 1$ также оканчивается на 1. По индукции это верно для любой степени $k$.

Следовательно, число $81^k$, а значит и $3^{4k}$, при любом натуральном $k$ оканчивается на 1.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Чтобы доказать, что число $10^k - 1$ кратно 3 при любом натуральном $k$, также можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование признака делимости на 3.

При любом натуральном $k$ число $10^k$ — это единица с $k$ нулями ($10, 100, 1000, \dots$). Тогда число $10^k - 1$ состоит из $k$ идущих подряд девяток ($9, 99, 999, \dots$).

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа $10^k - 1$. Она равна:

$S = \underbrace{9 + 9 + \dots + 9}_{k \text{ слагаемых}} = 9k$

Поскольку $9k = 3 \cdot (3k)$, сумма цифр всегда делится на 3 без остатка. Следовательно, и само число $10^k - 1$ кратно 3.

Способ 2: Использование сравнений по модулю.

Нужно доказать, что $10^k - 1$ делится на 3, что эквивалентно $10^k - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Рассмотрим остаток от деления 10 на 3:

$10 = 3 \cdot 3 + 1 \implies 10 \equiv 1 \pmod{3}$

Согласно свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^k \equiv b^k \pmod{m}$. Возведем обе части сравнения в степень $k$:

$10^k \equiv 1^k \pmod{3}$

Так как $1^k = 1$ для любого $k$, получаем:

$10^k \equiv 1 \pmod{3}$

Вычтем 1 из обеих частей:

$10^k - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{3} \implies 10^k - 1 \equiv 0 \pmod{3}$

Это означает, что $10^k - 1$ делится на 3 без остатка при любом натуральном $k$.

Ответ: Утверждение доказано.

569. Какова степень одночлена:

а) $3x^3y^7$
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. В одночлене $3x^3y^7$ переменные — это $x$ и $y$. Показатель степени переменной $x$ равен 3, а показатель степени переменной $y$ равен 7. Чтобы найти степень одночлена, нужно сложить эти показатели: $3 + 7 = 10$.
Ответ: 10.

б) $-10ab^2c^3$
В одночлене $-10ab^2c^3$ переменные — это $a$, $b$ и $c$. Показатель степени переменной $a$ равен 1 (так как $a = a^1$), показатель степени $b$ равен 2, а показатель степени $c$ равен 3. Сумма показателей степеней равна: $1 + 2 + 3 = 6$.
Ответ: 6.

в) $a^9b^9$
В одночлене $a^9b^9$ переменные — это $a$ и $b$. Показатель степени переменной $a$ равен 9, и показатель степени переменной $b$ тоже равен 9. Сумма показателей степеней равна: $9 + 9 = 18$.
Ответ: 18.

г) $-xyz$
В одночлене $-xyz$ переменные — это $x$, $y$ и $z$. Каждая переменная имеет показатель степени 1 (так как $x=x^1, y=y^1, z=z^1$). Сумма показателей степеней равна: $1 + 1 + 1 = 3$.
Ответ: 3.

д) $-8x^0$
Степень одночлена определяется суммой показателей степеней его переменных. В одночлене $-8x^0$ есть только одна переменная $x$ с показателем степени 0. Таким образом, степень одночлена равна 0. Стоит отметить, что при $x \neq 0$, выражение $x^0 = 1$, и одночлен равен $-8 \times 1 = -8$, что является константой. Степень любой ненулевой константы равна 0.
Ответ: 0.

е) 2,4
Одночлен 2,4 является числом (константой), не содержащим переменных. Степень любого ненулевого числового коэффициента (константы) по определению равна 0. Это можно представить как $2,4x^0$, где степень переменной $x$ равна 0.
Ответ: 0.

570. Представьте выражение в виде одночлена стандартного вида и укажите его степень:

$\mathrm{а}) 5\mathrm{ab} · 0,7\mathrm{bc} ·40\mathrm{ac};$

$\mathrm{б}) -0,45\mathrm{bd} · (-1\frac{1}{9}\mathrm{ad}) · 9\mathrm{ab};$

$\mathrm{в}) -{\mathrm{а}}^3\mathrm{b} · 3{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^4;$

$\mathrm{г}) 0,6{\mathrm{х}}^3\mathrm{у} · (-0,5{\mathrm{ху}}^3).$

а) $5ab \cdot 0,7bc \cdot 40ac$

Чтобы представить выражение в виде одночлена стандартного вида, необходимо перемножить все числовые коэффициенты и сгруппировать степени с одинаковыми основаниями (переменными), а затем сложить их показатели.

1. Перемножаем числовые коэффициенты: $5 \cdot 0,7 \cdot 40 = 140$.

2. Перемножаем переменные: $(a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot (c \cdot c) = a^{1+1}b^{1+1}c^{1+1} = a^2b^2c^2$.

3. Соединяем полученный коэффициент и переменные: $140a^2b^2c^2$.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных: $2 + 2 + 2 = 6$.

Ответ: $140a^2b^2c^2$, степень 6.

б) $-0,45bd \cdot \left(-1\frac{1}{9}ad\right) \cdot 9ab$

Сначала преобразуем коэффициенты в удобный для вычисления вид, а затем выполним умножение.

1. Преобразуем коэффициенты: $-0,45 = -\frac{45}{100} = -\frac{9}{20}$; $-1\frac{1}{9} = -\frac{10}{9}$.

2. Перемножаем коэффициенты: $(-\frac{9}{20}) \cdot (-\frac{10}{9}) \cdot 9 = \frac{9 \cdot 10 \cdot 9}{20 \cdot 9} = \frac{90}{20} = 4,5$.

3. Перемножаем переменные, располагая их в алфавитном порядке: $(a \cdot a) \cdot (b \cdot b) \cdot (d \cdot d) = a^{1+1}b^{1+1}d^{1+1} = a^2b^2d^2$.

4. Записываем одночлен в стандартном виде: $4,5a^2b^2d^2$.

Степень одночлена: $2 + 2 + 2 = 6$.

Ответ: $4,5a^2b^2d^2$, степень 6.

в) $-a^3b \cdot 3a^2b^4$

Чтобы привести выражение к стандартному виду, сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

1. Перемножаем коэффициенты (коэффициент $-a^3b$ равен $-1$): $-1 \cdot 3 = -3$.

2. Перемножаем переменные: $(a^3 \cdot a^2) \cdot (b^1 \cdot b^4) = a^{3+2}b^{1+4} = a^5b^5$.

3. Записываем результат: $-3a^5b^5$.

Степень одночлена: $5 + 5 = 10$.

Ответ: $-3a^5b^5$, степень 10.

г) $0,6x^3y \cdot (-0,5xy^3)$

Выполняем умножение коэффициентов и переменных.

1. Перемножаем коэффициенты: $0,6 \cdot (-0,5) = -0,3$.

2. Перемножаем переменные: $(x^3 \cdot x^1) \cdot (y^1 \cdot y^3) = x^{3+1}y^{1+3} = x^4y^4$.

3. Получаем одночлен стандартного вида: $-0,3x^4y^4$.

Степень одночлена: $4 + 4 = 8$.

Ответ: $-0,3x^4y^4$, степень 8.

571. Составьте все возможные одночлены стандартного вида с коэффициентом 5, содержащие переменные х и у, такие, что степень каждого одночлена равна:

а) трём; б) четырём.

а)

По условию, нужно составить все возможные одночлены стандартного вида. Одночлен стандартного вида — это произведение числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных.
Нам даны следующие условия:
1. Коэффициент равен 5.
2. Одночлен содержит переменные $x$ и $y$. Это означает, что одночлен имеет вид $5x^a y^b$, где показатели степеней $a$ и $b$ являются натуральными числами (т.е. $a \ge 1$ и $b \ge 1$).
3. Степень одночлена равна трём. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных. Значит, $a + b = 3$.

Теперь найдём все пары натуральных чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 3:
• Если $a = 1$, то $b = 3 - 1 = 2$. Получаем одночлен $5x^1y^2$, или $5xy^2$.
• Если $a = 2$, то $b = 3 - 2 = 1$. Получаем одночлен $5x^2y^1$, или $5x^2y$.

Других пар натуральных чисел, сумма которых равна 3, не существует. Таким образом, мы нашли все возможные одночлены.

Ответ: $5xy^2$, $5x^2y$.

б)

В этом пункте условия аналогичны, за исключением того, что степень одночлена равна четырём. Мы снова ищем одночлены вида $5x^a y^b$, где $a$ и $b$ — натуральные числа.
Условие на степень даёт уравнение: $a + b = 4$.

Найдём все пары натуральных чисел $a$ и $b$, сумма которых равна 4:
• Если $a = 1$, то $b = 4 - 1 = 3$. Получаем одночлен $5x^1y^3$, или $5xy^3$.
• Если $a = 2$, то $b = 4 - 2 = 2$. Получаем одночлен $5x^2y^2$.
• Если $a = 3$, то $b = 4 - 3 = 1$. Получаем одночлен $5x^3y^1$, или $5x^3y$.

Других пар натуральных чисел, сумма которых равна 4, не существует. Таким образом, мы нашли все возможные одночлены для этого случая.

Ответ: $5xy^3$, $5x^2y^2$, $5x^3y$.

572. Представьте выражение в виде произведения двух одночленов стандартного вида, один из которых равен 20x⁴у:

Чтобы представить каждое выражение в виде произведения двух одночленов, один из которых равен $20x^4y$, необходимо найти второй одночлен. Это можно сделать, разделив исходное выражение на известный одночлен $20x^4y$.

а) Представим выражение $100x^5y^3$.

Найдем второй множитель, разделив $100x^5y^3$ на $20x^4y$:

$\frac{100x^5y^3}{20x^4y} = (\frac{100}{20}) \cdot (\frac{x^5}{x^4}) \cdot (\frac{y^3}{y^1})$

Используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$(\frac{100}{20}) \cdot x^{5-4} \cdot y^{3-1} = 5 \cdot x^1 \cdot y^2 = 5xy^2$

Таким образом, искомое представление:

Ответ: $100x^5y^3 = (20x^4y) \cdot (5xy^2)$.

б) Представим выражение $-30x^4y^5$.

Найдем второй множитель, разделив $-30x^4y^5$ на $20x^4y$:

$\frac{-30x^4y^5}{20x^4y} = (\frac{-30}{20}) \cdot (\frac{x^4}{x^4}) \cdot (\frac{y^5}{y^1}) = -\frac{3}{2} \cdot x^{4-4} \cdot y^{5-1} = -\frac{3}{2} \cdot x^0 \cdot y^4 = -\frac{3}{2}y^4$

Ответ: $-30x^4y^5 = (20x^4y) \cdot (-\frac{3}{2}y^4)$.

в) Представим выражение $-4x^{16}y$.

Найдем второй множитель, разделив $-4x^{16}y$ на $20x^4y$:

$\frac{-4x^{16}y}{20x^4y} = (\frac{-4}{20}) \cdot (\frac{x^{16}}{x^4}) \cdot (\frac{y^1}{y^1}) = -\frac{1}{5} \cdot x^{16-4} \cdot y^{1-1} = -\frac{1}{5} \cdot x^{12} \cdot y^0 = -\frac{1}{5}x^{12}$

Ответ: $-4x^{16}y = (20x^4y) \cdot (-\frac{1}{5}x^{12})$.

г) Представим выражение $x^{10}y^2$.

Найдем второй множитель, разделив $x^{10}y^2$ на $20x^4y$:

$\frac{x^{10}y^2}{20x^4y} = (\frac{1}{20}) \cdot (\frac{x^{10}}{x^4}) \cdot (\frac{y^2}{y^1}) = \frac{1}{20} \cdot x^{10-4} \cdot y^{2-1} = \frac{1}{20}x^6y$

Ответ: $x^{10}y^2 = (20x^4y) \cdot (\frac{1}{20}x^6y)$.

д) Представим выражение $5x^8y$.

Найдем второй множитель, разделив $5x^8y$ на $20x^4y$:

$\frac{5x^8y}{20x^4y} = (\frac{5}{20}) \cdot (\frac{x^8}{x^4}) \cdot (\frac{y^1}{y^1}) = \frac{1}{4} \cdot x^{8-4} \cdot y^{1-1} = \frac{1}{4} \cdot x^4 \cdot y^0 = \frac{1}{4}x^4$

Ответ: $5x^8y = (20x^4y) \cdot (\frac{1}{4}x^4)$.

е) Представим выражение $-x^4y^2$.

Найдем второй множитель, разделив $-x^4y^2$ на $20x^4y$:

$\frac{-x^4y^2}{20x^4y} = (\frac{-1}{20}) \cdot (\frac{x^4}{x^4}) \cdot (\frac{y^2}{y^1}) = -\frac{1}{20} \cdot x^{4-4} \cdot y^{2-1} = -\frac{1}{20} \cdot x^0 \cdot y^1 = -\frac{1}{20}y$

Ответ: $-x^4y^2 = (20x^4y) \cdot (-\frac{1}{20}y)$.

573. Представьте данный одночлен в виде произведения каких−нибудь двух одночленов стандартного вида:

а) −8а⁵c³; б) −b⁶y⁹; в) 60х¹⁰y¹⁵.

а) Чтобы представить одночлен $-8a^5c^8$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида, необходимо разложить на два множителя его числовой коэффициент и степени каждой переменной. Так как в задании требуется найти "какие-нибудь" два одночлена, существует множество правильных решений. Рассмотрим один из вариантов.

1. Разложим числовой коэффициент $-8$ на два множителя. Например, $-8 = 2 \cdot (-4)$.

2. Разложим переменную $a$ в степени $5$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, нам нужно найти два числа, сумма которых равна $5$. Например, $5 = 2 + 3$. Тогда $a^5 = a^2 \cdot a^3$.

3. Разложим переменную $c$ в степени $8$. Аналогично, найдем два числа, сумма которых равна $8$. Например, $8 = 1 + 7$. Тогда $c^8 = c^1 \cdot c^7 = c \cdot c^7$.

4. Теперь сгруппируем полученные множители в два одночлена. Пусть первый одночлен состоит из множителей $2$, $a^2$ и $c$, а второй — из множителей $-4$, $a^3$ и $c^7$.

Получаем два одночлена: $2a^2c$ и $-4a^3c^7$.

5. Проверим, является ли их произведение исходным одночленом:

$(2a^2c) \cdot (-4a^3c^7) = (2 \cdot -4) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (c^1 \cdot c^7) = -8a^{2+3}c^{1+7} = -8a^5c^8$.

Произведение верно. Оба одночлена, $2a^2c$ и $-4a^3c^7$, записаны в стандартном виде.

Ответ: $(2a^2c) \cdot (-4a^3c^7)$.

б) Представим одночлен $-b^6y^9$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида. Коэффициент этого одночлена равен $-1$.

1. Разложим коэффициент $-1$ на множители: $-1 = -1 \cdot 1$.

2. Разложим $b^6$. Возьмем степени $3$ и $3$, так как $3+3=6$. Получим $b^6 = b^3 \cdot b^3$.

3. Разложим $y^9$. Возьмем степени $4$ и $5$, так как $4+5=9$. Получим $y^9 = y^4 \cdot y^5$.

4. Скомбинируем множители. Пусть первый одночлен будет $-1 \cdot b^3 \cdot y^4$, а второй $1 \cdot b^3 \cdot y^5$. В стандартном виде они записываются как $-b^3y^4$ и $b^3y^5$.

5. Выполним проверку:

$(-b^3y^4) \cdot (b^3y^5) = (-1) \cdot (b^3 \cdot b^3) \cdot (y^4 \cdot y^5) = -b^{3+3}y^{4+5} = -b^6y^9$.

Произведение верно.

Ответ: $(-b^3y^4) \cdot (b^3y^5)$.

в) Представим одночлен $60x^{10}y^{15}$ в виде произведения двух одночленов стандартного вида.

1. Разложим коэффициент $60$ на множители. Например, $60 = 6 \cdot 10$.

2. Разложим $x^{10}$. Так как $10 = 5 + 5$, можно записать $x^{10} = x^5 \cdot x^5$.

3. Разложим $y^{15}$. Так как $15 = 7 + 8$, можно записать $y^{15} = y^7 \cdot y^8$.

4. Сгруппируем множители в два одночлена: $6x^5y^7$ и $10x^5y^8$.

5. Проверим результат:

$(6x^5y^7) \cdot (10x^5y^8) = (6 \cdot 10) \cdot (x^5 \cdot x^5) \cdot (y^7 \cdot y^8) = 60x^{5+5}y^{7+8} = 60x^{10}y^{15}$.

Произведение верно. Другим примером может быть $(-5x^9y^{14}) \cdot (-12xy)$.

Ответ: $(6x^5y^7) \cdot (10x^5y^8)$.

574. Преобразуйте выражение в тождественно равный одночлен стандартного вида:

а) Чтобы преобразовать выражение $(-10ab^{12})^2$ в одночлен стандартного вида, необходимо возвести в квадрат каждый множитель внутри скобок. Для этого применяются свойства степени: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
$(-10ab^{12})^2 = (-10)^2 \cdot a^2 \cdot (b^{12})^2$
Теперь вычислим значение каждого множителя по отдельности:
$(-10)^2 = 100$
$(b^{12})^2 = b^{12 \cdot 2} = b^{24}$
Объединив полученные результаты, получаем одночлен стандартного вида: $100a^2b^{24}$.
Ответ: $100a^2b^{24}$.

б) Чтобы преобразовать выражение $(-0,2x^4y)^4$ в одночлен стандартного вида, необходимо возвести в четвертую степень каждый множитель внутри скобок.
$(-0,2x^4y)^4 = (-0,2)^4 \cdot (x^4)^4 \cdot y^4$
Вычислим значение каждого множителя:
Поскольку степень четная (4), результат возведения отрицательного числа будет положительным: $(-0,2)^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,0016$.
$(x^4)^4 = x^{4 \cdot 4} = x^{16}$
Объединив результаты, получаем: $0,0016x^{16}y^4$.
Ответ: $0,0016x^{16}y^4$.

в) Чтобы преобразовать выражение $(-3xy^2a^3)^3$ в одночлен стандартного вида, необходимо возвести в куб каждый множитель. В стандартной форме одночлена переменные принято записывать в алфавитном порядке.
$(-3xy^2a^3)^3 = (-3)^3 \cdot (a^3)^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3$
Вычислим значение каждого множителя:
Поскольку степень нечетная (3), результат возведения отрицательного числа будет отрицательным: $(-3)^3 = -27$.
$(a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$
$(y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6$
Объединив результаты и расположив переменные в алфавитном порядке, получаем: $-27a^9x^3y^6$.
Ответ: $-27a^9x^3y^6$.

г) Чтобы преобразовать выражение $(-0,5ab^2c^3)^4$ в одночлен стандартного вида, необходимо возвести в четвертую степень каждый множитель.
$(-0,5ab^2c^3)^4 = (-0,5)^4 \cdot a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^3)^4$
Вычислим значение каждого множителя:
Степень четная (4), поэтому результат будет положительным: $(-0,5)^4 = 0,5^4 = 0,0625$. Это также можно представить как дробь: $(1/2)^4 = 1/16$.
$(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$
$(c^3)^4 = c^{3 \cdot 4} = c^{12}$
Объединив результаты, получаем одночлен стандартного вида: $0,0625a^4b^8c^{12}$.
Ответ: $0,0625a^4b^8c^{12}$.

575. Представьте произведение одночленов в виде степени некоторого одночлена:

а)

Чтобы представить произведение одночленов в виде степени некоторого другого одночлена, сначала выполним умножение данных одночленов.

$27d^2b^5 \cdot 3a^{10}b^3$

Сгруппируем и умножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$(27 \cdot 3) \cdot a^{10} \cdot (b^5 \cdot b^3) \cdot d^2 = 81 \cdot a^{10} \cdot b^{5+3} \cdot d^2 = 81a^{10}b^8d^2$.

Теперь представим полученный одночлен в виде степени. Для этого нужно найти такой показатель степени $k$, чтобы каждый множитель (коэффициент и переменные) можно было представить в этой степени. Используем свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Заметим, что $81 = 9^2$, $a^{10} = (a^5)^2$, $b^8 = (b^4)^2$, и $d^2 = (d^1)^2$. Общий показатель степени равен 2.

$81a^{10}b^8d^2 = 9^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (b^4)^2 \cdot d^2 = (9a^5b^4d)^2$.

Ответ: $(9a^5b^4d)^2$.

б)

Выполним умножение одночленов $-64a^8x^{11}$ и $(-0,25a^2x^9)$.

$-64a^8x^{11} \cdot (-0,25a^2x^9)$

Умножим коэффициенты: $-64 \cdot (-0,25) = -64 \cdot (-\frac{1}{4}) = 16$.

Умножим степени с одинаковыми основаниями: $a^8 \cdot a^2 = a^{8+2} = a^{10}$ и $x^{11} \cdot x^9 = x^{11+9} = x^{20}$.

Результат произведения: $16a^{10}x^{20}$.

Теперь представим этот результат в виде степени. Показатели степеней переменных равны 10 и 20. Их общий делитель равен 2. Проверим, подходит ли этот показатель для коэффициента.

$16 = 4^2$, $a^{10} = (a^5)^2$, $x^{20} = (x^{10})^2$.

Следовательно, $16a^{10}x^{20} = 4^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (x^{10})^2 = (4a^5x^{10})^2$.

Ответ: $(4a^5x^{10})^2$.

в)

Найдем произведение одночленов $0,01b^5c^3$ и $(-0,1bc^6)$.

$0,01b^5c^3 \cdot (-0,1bc^6)$

Умножим коэффициенты: $0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$.

Умножим переменные: $b^5 \cdot b = b^{5+1} = b^6$ и $c^3 \cdot c^6 = c^{3+6} = c^9$.

Результат произведения: $-0,001b^6c^9$.

Представим результат в виде степени. Показатели степеней переменных 6 и 9, их наибольший общий делитель равен 3. Проверим, подходит ли этот показатель для коэффициента.

$-0,001 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = (-0,1)^3$.

Представим переменные в виде степени с показателем 3: $b^6 = (b^2)^3$ и $c^9 = (c^3)^3$.

Таким образом, $-0,001b^6c^9 = (-0,1)^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (c^3)^3 = (-0,1b^2c^3)^3$.

Ответ: $(-0,1b^2c^3)^3$.

г)

Выполним умножение одночленов: $-\frac{9}{16}p^9q^{14} \cdot \frac{3}{4}p^3q^4$.

$(-\frac{9}{16} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (p^9 \cdot p^3) \cdot (q^{14} \cdot q^4)$

Умножим коэффициенты: $-\frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 4} = -\frac{27}{64}$.

Умножим переменные: $p^9 \cdot p^3 = p^{9+3} = p^{12}$ и $q^{14} \cdot q^4 = q^{14+4} = q^{18}$.

Получим одночлен: $-\frac{27}{64}p^{12}q^{18}$.

Теперь представим его в виде степени. Наибольший общий делитель показателей 12 и 18 равен 6. Однако, для показателя 3 также можно найти решение, так как 3 является общим делителем 12 и 18. Проверим этот вариант.

Коэффициент: $-\frac{27}{64} = -\frac{3^3}{4^3} = (-\frac{3}{4})^3$.

Переменные: $p^{12} = (p^4)^3$ и $q^{18} = (q^6)^3$.

Объединяем все части: $-\frac{27}{64}p^{12}q^{18} = (-\frac{3}{4})^3 \cdot (p^4)^3 \cdot (q^6)^3 = (-\frac{3}{4}p^4q^6)^3$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}p^4q^6)^3$.