Страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

601. а) Составьте сумму многочленов 4х³ − 5х − 7 и х³ − 8х и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.

б) Составьте разность многочленов 5у² − 9 и 7у² − у + 5 и преобразуйте её в многочлен стандартного вида.

а) Чтобы составить сумму многочленов $4x^3 - 5x - 7$ и $x^3 - 8x$, нужно сложить их и привести подобные слагаемые.

Запишем сумму:
$(4x^3 - 5x - 7) + (x^3 - 8x)$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок не меняются:
$4x^3 - 5x - 7 + x^3 - 8x$

Сгруппируем и сложим подобные члены (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):
$(4x^3 + x^3) + (-5x - 8x) - 7$
$5x^3 - 13x - 7$

Полученный многочлен $5x^3 - 13x - 7$ записан в стандартном виде, так как его члены расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.
Ответ: $5x^3 - 13x - 7$

б) Чтобы составить разность многочленов $5y^2 - 9$ и $7y^2 - y + 5$, нужно из первого многочлена вычесть второй и привести подобные слагаемые.

Запишем разность:
$(5y^2 - 9) - (7y^2 - y + 5)$

Раскроем скобки. Так как перед вторыми скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные:
$5y^2 - 9 - 7y^2 + y - 5$

Сгруппируем и сложим подобные члены:
$(5y^2 - 7y^2) + y + (-9 - 5)$
$-2y^2 + y - 14$

Полученный многочлен $-2y^2 + y - 14$ записан в стандартном виде.
Ответ: $-2y^2 + y - 14$

602. Даны два многочлена: 2а³ − 5а + 5 и а³ − 4а − 2. Упростите:

а) сумму этих многочленов;

б) разность первого и второго многочленов;

в) разность второго и первого многочленов.

а) сумму этих многочленов;

Чтобы найти сумму двух многочленов, запишем их сумму, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(2a^3 - 5a + 5) + (a^3 - 4a - 2) = 2a^3 - 5a + 5 + a^3 - 4a - 2$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$(2a^3 + a^3) + (-5a - 4a) + (5 - 2) = 3a^3 - 9a + 3$

Ответ: $3a^3 - 9a + 3$

б) разность первого и второго многочленов;

Чтобы найти разность многочленов, нужно из первого многочлена вычесть второй. Для этого запишем их разность, раскроем скобки, изменив знаки всех членов второго многочлена на противоположные, и приведем подобные слагаемые.

$(2a^3 - 5a + 5) - (a^3 - 4a - 2) = 2a^3 - 5a + 5 - a^3 + 4a + 2$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$(2a^3 - a^3) + (-5a + 4a) + (5 + 2) = a^3 - a + 7$

Ответ: $a^3 - a + 7$

в) разность второго и первого многочленов.

Чтобы найти разность второго и первого многочленов, нужно из второго многочлена вычесть первый. Это аналогично предыдущему пункту, но многочлены меняются местами.

$(a^3 - 4a - 2) - (2a^3 - 5a + 5) = a^3 - 4a - 2 - 2a^3 + 5a - 5$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$(a^3 - 2a^3) + (-4a + 5a) + (-2 - 5) = -a^3 + a - 7$

Ответ: $-a^3 + a - 7$

603. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) Чтобы преобразовать выражение $(1 + 3a) + (a^2 - 2a)$ в многочлен стандартного вида, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются при их раскрытии.
$(1 + 3a) + (a^2 - 2a) = 1 + 3a + a^2 - 2a$
Теперь сгруппируем подобные члены. Подобные члены — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном случае это $3a$ и $-2a$.
$a^2 + (3a - 2a) + 1$
Выполним действия с подобными членами и запишем многочлен в порядке убывания степеней переменной:
$a^2 + a + 1$
Ответ: $a^2 + a + 1$

б) Раскроем скобки в выражении $(2x^2 + 3x) + (-x + 4)$. Перед второй скобкой стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых внутри нее не меняются.
$2x^2 + 3x - x + 4$
Приведем подобные слагаемые $(3x \text{ и } -x)$:
$2x^2 + (3x - x) + 4$
$2x^2 + 2x + 4$
Многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $2x^2 + 2x + 4$

в) Раскроем скобки в выражении $(y^2 - 5y) + (5y - 2y^2)$.
$y^2 - 5y + 5y - 2y^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(y^2 \text{ и } -2y^2)$, а также $(-5y \text{ и } 5y)$.
$(y^2 - 2y^2) + (-5y + 5y)$
$-y^2 + 0 = -y^2$
Многочлен приведен к стандартному виду.
Ответ: $-y^2$

г) Преобразуем выражение $(b^2 - b + 7) - (b^2 + b + 8)$. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.
$b^2 - b + 7 - b^2 - b - 8$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) + (-b - b) + (7 - 8)$
$0 - 2b - 1 = -2b - 1$
Многочлен приведен к стандартному виду.
Ответ: $-2b - 1$

д) Преобразуем выражение $(8n^3 - 3n^2) - (7 + 8n^3 - 2n^2)$. Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке, так как перед ней стоит минус.
$8n^3 - 3n^2 - 7 - 8n^3 + 2n^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(8n^3 - 8n^3) + (-3n^2 + 2n^2) - 7$
$0 - n^2 - 7 = -n^2 - 7$
Многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $-n^2 - 7$

е) Преобразуем выражение $(a^2 + 5a + 4) - (a^2 + 5a - 4)$. Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых во второй скобке на противоположные.
$a^2 + 5a + 4 - a^2 - 5a + 4$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (5a - 5a) + (4 + 4)$
$0 + 0 + 8 = 8$
В результате упрощения получим число.
Ответ: $8$

604. Упростите выражение:

а) 5,2а − (4,5а + 4,8а²);
б) 8х² + (4,5 − х²) − (5,4х² − 1);
в) −0,8b² + 7,4b + (5,6b − 0,2b²);
г) (7,3у − у² + 4) + 0,5у² − (8,7у − 2,4у²).

а) $5,2a - (4,5a + 4,8a^2)$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$5,2a - (4,5a + 4,8a^2) = 5,2a - 4,5a - 4,8a^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Сгруппируем и вычтем члены, содержащие переменную $a$.

$(5,2a - 4,5a) - 4,8a^2 = (5,2 - 4,5)a - 4,8a^2 = 0,7a - 4,8a^2$

Обычно многочлены записывают в стандартном виде, располагая члены по убыванию степеней переменной.

$-4,8a^2 + 0,7a$

Ответ: $-4,8a^2 + 0,7a$

б) $8x^2 + (4,5 - x^2) - (5,4x^2 - 1)$

Сначала раскроем скобки. Перед первыми скобками стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых не меняются. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых меняются на противоположные.

$8x^2 + (4,5 - x^2) - (5,4x^2 - 1) = 8x^2 + 4,5 - x^2 - 5,4x^2 + 1$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: отдельно члены с $x^2$ и отдельно числовые коэффициенты (свободные члены).

$(8x^2 - x^2 - 5,4x^2) + (4,5 + 1)$

Выполним вычисления в каждой группе.

$(8 - 1 - 5,4)x^2 + (4,5 + 1) = 1,6x^2 + 5,5$

Ответ: $1,6x^2 + 5,5$

в) $-0,8b^2 + 7,4b + (5,6b - 0,2b^2)$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых внутри скобок не меняются.

$-0,8b^2 + 7,4b + 5,6b - 0,2b^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: отдельно члены с $b^2$ и отдельно члены с $b$.

$(-0,8b^2 - 0,2b^2) + (7,4b + 5,6b)$

Выполним вычисления в каждой группе.

$(-0,8 - 0,2)b^2 + (7,4 + 5,6)b = -1b^2 + 13b = -b^2 + 13b$

Ответ: $-b^2 + 13b$

г) $(7,3y - y^2 + 4) + 0,5y^2 - (8,7y - 2,4y^2)$

Раскроем скобки. Знаки в первых скобках не меняются. Знаки во вторых скобках меняются на противоположные, так как перед ними стоит знак минус.

$7,3y - y^2 + 4 + 0,5y^2 - 8,7y + 2,4y^2$

Сгруппируем подобные слагаемые: члены с $y^2$, члены с $y$ и свободные члены.

$(-y^2 + 0,5y^2 + 2,4y^2) + (7,3y - 8,7y) + 4$

Выполним вычисления в каждой группе.

$(-1 + 0,5 + 2,4)y^2 + (7,3 - 8,7)y + 4 = 1,9y^2 - 1,4y + 4$

Ответ: $1,9y^2 - 1,4y + 4$

605. Преобразуйте в многочлен стандартного вида:

а) Чтобы преобразовать выражение $18x^2 - (10x - 5 + 18x^2)$ в многочлен стандартного вида, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Так как перед скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри скобки меняются на противоположные.
$18x^2 - (10x - 5 + 18x^2) = 18x^2 - 10x + 5 - 18x^2$
Теперь сгруппируем и приведем подобные члены. Слагаемые $18x^2$ и $-18x^2$ взаимно уничтожаются.
$(18x^2 - 18x^2) - 10x + 5 = 0 - 10x + 5 = -10x + 5$
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $-10x + 5$.

б) Преобразуем выражение $-12c^2 + 5c + (c + 11c^2)$. Перед скобкой стоит знак «плюс», поэтому при раскрытии скобок знаки слагаемых не меняются.
$-12c^2 + 5c + (c + 11c^2) = -12c^2 + 5c + c + 11c^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-12c^2 + 11c^2) + (5c + c) = -c^2 + 6c$
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $-c^2 + 6c$.

в) Преобразуем выражение $(b^2 + b - 1) - (b^2 - b + 1)$. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.
$(b^2 + b - 1) - (b^2 - b + 1) = b^2 + b - 1 - b^2 + b - 1$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(b^2 - b^2) + (b + b) + (-1 - 1) = 0 + 2b - 2 = 2b - 2$
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $2b - 2$.

г) Преобразуем выражение $(15 - 7y^2) - (y^3 - y^2 - 15)$. Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых во второй скобке на противоположные.
$(15 - 7y^2) - (y^3 - y^2 - 15) = 15 - 7y^2 - y^3 + y^2 + 15$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Для получения многочлена стандартного вида расположим члены в порядке убывания степеней переменной $y$.
$-y^3 + (-7y^2 + y^2) + (15 + 15) = -y^3 - 6y^2 + 30$
Полученный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: $-y^3 - 6y^2 + 30$.

606. Найдите сумму и разность многочленов:

а)

Для многочленов $a+b$ и $a-b$ найдем их сумму и разность.

Сумма: $(a+b) + (a-b) = a+b+a-b = (a+a) + (b-b) = 2a$.

Разность: $(a+b) - (a-b) = a+b-a+b = (a-a) + (b+b) = 2b$.

Ответ: сумма равна $2a$, разность равна $2b$.

б)

Для многочленов $a-b$ и $a+b$ найдем их сумму и разность.

Сумма: $(a-b) + (a+b) = a-b+a+b = (a+a) + (-b+b) = 2a$.

Разность: $(a-b) - (a+b) = a-b-a-b = (a-a) + (-b-b) = -2b$.

Ответ: сумма равна $2a$, разность равна $-2b$.

в)

Для многочленов $-a-b$ и $a-b$ найдем их сумму и разность.

Сумма: $(-a-b) + (a-b) = -a-b+a-b = (-a+a) + (-b-b) = -2b$.

Разность: $(-a-b) - (a-b) = -a-b-a+b = (-a-a) + (-b+b) = -2a$.

Ответ: сумма равна $-2b$, разность равна $-2a$.

г)

Для многочленов $a-b$ и $b-a$ найдем их сумму и разность.

Сумма: $(a-b) + (b-a) = a-b+b-a = (a-a) + (-b+b) = 0$.

Разность: $(a-b) - (b-a) = a-b-b+a = (a+a) + (-b-b) = 2a-2b$.

Ответ: сумма равна $0$, разность равна $2a-2b$.

607. Докажите, что:
а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;
б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;

Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — некоторое целое число. Возьмём два последовательных нечётных числа. Если первое число равно $2k+1$, то следующее нечётное число будет на 2 больше, то есть $(2k+1) + 2 = 2k+3$.

Найдём сумму этих двух чисел:

$(2k+1) + (2k+3) = 2k + 1 + 2k + 3 = 4k + 4$.

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4k + 4 = 4(k+1)$.

Так как $k$ — целое число, то $k+1$ также является целым числом. Полученное выражение $4(k+1)$ представляет собой произведение числа 4 на целое число, а значит, оно всегда делится на 4 без остатка. Следовательно, сумма двух последовательных нечётных чисел всегда кратна 4.

Ответ: Доказано.

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

Возьмём четыре последовательных нечётных числа. Если первое из них равно $2k+1$, то следующие три будут $2k+3$, $2k+5$ и $2k+7$, где $k$ — некоторое целое число.

Найдём сумму этих четырёх чисел:

$(2k+1) + (2k+3) + (2k+5) + (2k+7)$

Сгруппируем слагаемые:

$(2k+2k+2k+2k) + (1+3+5+7) = 8k + 16$.

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$8k + 16 = 8(k+2)$.

Так как $k$ — целое число, то $k+2$ также является целым числом. Полученное выражение $8(k+2)$ представляет собой произведение числа 8 на целое число, а значит, оно всегда делится на 8 без остатка. Следовательно, сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8.

Ответ: Доказано.

608. Докажите, что выражение:

а) (х − у) + (у − z) + (z − х) тождественно равно 0;
б) (а² − 5аb) − (7 − 3ab) + (2аb − а²) тождественно равно −7.

а) Чтобы доказать, что выражение тождественно равно 0, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки. Поскольку перед всеми скобками стоит знак плюс (или он подразумевается), знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$(x - y) + (y - z) + (z - x) = x - y + y - z + z - x$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x - x) + (y - y) + (z - z) = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как в результате упрощения получилось 0, это доказывает, что исходное выражение тождественно равно 0 при любых значениях переменных.

Ответ: $(x - y) + (y - z) + (z - x) = 0$.

б) Чтобы доказать, что выражение тождественно равно -7, необходимо его упростить. Раскроем скобки. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$(a^2 - 5ab) - (7 - 3ab) + (2ab - a^2) = a^2 - 5ab - 7 + 3ab + 2ab - a^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-5ab + 3ab + 2ab) - 7$

Выполнив вычисления в каждой группе, получим:

$0 + 0 - 7 = -7$

Так как в результате упрощения получилось -7, это доказывает, что исходное выражение тождественно равно -7 при любых значениях переменных.

Ответ: $(a^2 - 5ab) - (7 - 3ab) + (2ab - a^2) = -7$.