Страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

630. Выполните умножение:

а) Для выполнения умножения одночлена на многочлен воспользуемся распределительным свойством умножения. Умножим одночлен $2x$ на каждый член многочлена $(x^2 - 7x - 3)$.
$2x(x^2 - 7x - 3) = 2x \cdot x^2 + 2x \cdot (-7x) + 2x \cdot (-3) = 2x^3 - 14x^2 - 6x$.
Ответ: $2x^3 - 14x^2 - 6x$

б) Умножим одночлен $-4b^2$ на каждый член многочлена $(5b^2 - 3b - 2)$.
$-4b^2(5b^2 - 3b - 2) = (-4b^2) \cdot 5b^2 + (-4b^2) \cdot (-3b) + (-4b^2) \cdot (-2) = -20b^4 + 12b^3 + 8b^2$.
Ответ: $-20b^4 + 12b^3 + 8b^2$

в) Умножим каждый член многочлена $(3a^3 - a^2 + a)$ на одночлен $(-5a^3)$.
$(3a^3 - a^2 + a)(-5a^3) = 3a^3 \cdot (-5a^3) + (-a^2) \cdot (-5a^3) + a \cdot (-5a^3) = -15a^6 + 5a^5 - 5a^4$.
Ответ: $-15a^6 + 5a^5 - 5a^4$

г) Умножим каждый член многочлена $(y^2 - 2,4y + 6)$ на одночлен $1,5y$.
$(y^2 - 2,4y + 6) \cdot 1,5y = y^2 \cdot 1,5y + (-2,4y) \cdot 1,5y + 6 \cdot 1,5y = 1,5y^3 - 3,6y^2 + 9y$.
Ответ: $1,5y^3 - 3,6y^2 + 9y$

д) Умножим одночлен $-0,5x^2$ на каждый член многочлена $(-2x^2 - 3x + 4)$.
$-0,5x^2(-2x^2 - 3x + 4) = (-0,5x^2) \cdot (-2x^2) + (-0,5x^2) \cdot (-3x) + (-0,5x^2) \cdot 4 = x^4 + 1,5x^3 - 2x^2$.
Ответ: $x^4 + 1,5x^3 - 2x^2$

е) Умножим каждый член многочлена $(-3y^2 + 0,6y)$ на одночлен $(-1,5y^3)$.
$(-3y^2 + 0,6y)(-1,5y^3) = (-3y^2) \cdot (-1,5y^3) + 0,6y \cdot (-1,5y^3) = 4,5y^5 - 0,9y^4$.
Ответ: $4,5y^5 - 0,9y^4$

631. Преобразуйте произведение в многочлен:

Для преобразования произведения в многочлен необходимо умножить одночлен, стоящий перед скобками (или после них), на каждый член многочлена в скобках. Это действие основано на распределительном свойстве умножения.

а) $3ab(a^2 - 2ab + b^2)$

Умножим одночлен $3ab$ на каждый член многочлена $(a^2 - 2ab + b^2)$:
$3ab \cdot a^2 = 3a^{1+2}b = 3a^3b$
$3ab \cdot (-2ab) = - (3 \cdot 2)a^{1+1}b^{1+1} = -6a^2b^2$
$3ab \cdot b^2 = 3ab^{1+2} = 3ab^3$

Сложив полученные результаты, получаем многочлен:
$3ab(a^2 - 2ab + b^2) = 3a^3b - 6a^2b^2 + 3ab^3$.

Ответ: $3a^3b - 6a^2b^2 + 3ab^3$.

б) $-x^2y(x^2y^2 - x^2 - y^2)$

Умножим одночлен $-x^2y$ на каждый член многочлена $(x^2y^2 - x^2 - y^2)$:
$-x^2y \cdot (x^2y^2) = -x^{2+2}y^{1+2} = -x^4y^3$
$-x^2y \cdot (-x^2) = +x^{2+2}y = x^4y$
$-x^2y \cdot (-y^2) = +x^2y^{1+2} = x^2y^3$

Складываем полученные одночлены:
$-x^2y(x^2y^2 - x^2 - y^2) = -x^4y^3 + x^4y + x^2y^3$.

Ответ: $-x^4y^3 + x^4y + x^2y^3$.

в) $2,5a^2b(4a^2 - 2ab + 0,2b^2)$

Умножим одночлен $2,5a^2b$ на каждый член многочлена $(4a^2 - 2ab + 0,2b^2)$:
$2,5a^2b \cdot 4a^2 = (2,5 \cdot 4)a^{2+2}b = 10a^4b$
$2,5a^2b \cdot (-2ab) = -(2,5 \cdot 2)a^{2+1}b^{1+1} = -5a^3b^2$
$2,5a^2b \cdot 0,2b^2 = (2,5 \cdot 0,2)a^2b^{1+2} = 0,5a^2b^3$

Складываем результаты:
$2,5a^2b(4a^2 - 2ab + 0,2b^2) = 10a^4b - 5a^3b^2 + 0,5a^2b^3$.

Ответ: $10a^4b - 5a^3b^2 + 0,5a^2b^3$.

г) $(-2ax^2 + 3ax - a^2)(-a^2x^2)$

Умножим каждый член многочлена $(-2ax^2 + 3ax - a^2)$ на одночлен $(-a^2x^2)$:
$-2ax^2 \cdot (-a^2x^2) = (-2 \cdot -1)a^{1+2}x^{2+2} = 2a^3x^4$
$3ax \cdot (-a^2x^2) = (3 \cdot -1)a^{1+2}x^{1+2} = -3a^3x^3$
$-a^2 \cdot (-a^2x^2) = (-1 \cdot -1)a^{2+2}x^2 = a^4x^2$

Складываем результаты:
$(-2ax^2 + 3ax - a^2)(-a^2x^2) = 2a^3x^4 - 3a^3x^3 + a^4x^2$.

Ответ: $2a^3x^4 - 3a^3x^3 + a^4x^2$.

д) $(6,3x^3y - 3y^2 - 0,7x) \cdot 10x^2y^2$

Умножим каждый член многочлена $(6,3x^3y - 3y^2 - 0,7x)$ на одночлен $10x^2y^2$:
$6,3x^3y \cdot 10x^2y^2 = (6,3 \cdot 10)x^{3+2}y^{1+2} = 63x^5y^3$
$-3y^2 \cdot 10x^2y^2 = -(3 \cdot 10)x^2y^{2+2} = -30x^2y^4$
$-0,7x \cdot 10x^2y^2 = -(0,7 \cdot 10)x^{1+2}y^2 = -7x^3y^2$

Складываем результаты и для удобства располагаем члены в порядке убывания степеней переменной $x$:
$(6,3x^3y - 3y^2 - 0,7x) \cdot 10x^2y^2 = 63x^5y^3 - 30x^2y^4 - 7x^3y^2 = 63x^5y^3 - 7x^3y^2 - 30x^2y^4$.

Ответ: $63x^5y^3 - 7x^3y^2 - 30x^2y^4$.

е) $-1,4p^2q^6(5p^3q - 1,5pq^2 - 2q^3)$

Умножим одночлен $-1,4p^2q^6$ на каждый член многочлена $(5p^3q - 1,5pq^2 - 2q^3)$:
$-1,4p^2q^6 \cdot 5p^3q = -(1,4 \cdot 5)p^{2+3}q^{6+1} = -7p^5q^7$
$-1,4p^2q^6 \cdot (-1,5pq^2) = (-1,4 \cdot -1,5)p^{2+1}q^{6+2} = 2,1p^3q^8$
$-1,4p^2q^6 \cdot (-2q^3) = (-1,4 \cdot -2)p^2q^{6+3} = 2,8p^2q^9$

Складываем результаты:
$-1,4p^2q^6(5p^3q - 1,5pq^2 - 2q^3) = -7p^5q^7 + 2,1p^3q^8 + 2,8p^2q^9$.

Ответ: $-7p^5q^7 + 2,1p^3q^8 + 2,8p^2q^9$.

632. Представьте в виде многочлена:

а) Для того чтобы представить выражение в виде многочлена, необходимо умножить одночлен, стоящий перед скобкой, на каждый член многочлена в скобках, используя распределительное свойство умножения: $a(b+c) = ab+ac$.
$\frac{2}{7}x(1,4x^2 - 3,5y) = \frac{2}{7}x \cdot 1,4x^2 - \frac{2}{7}x \cdot 3,5y$.
Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ и $3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{2}{7}x \cdot \frac{7}{5}x^2 - \frac{2}{7}x \cdot \frac{7}{2}y = (\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{5}) \cdot (x \cdot x^2) - (\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}) \cdot (x \cdot y)$.
Выполним умножение коэффициентов и сложение степеней у переменных:
$\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 5}x^{1+2} - \frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 2}xy = \frac{2}{5}x^3 - 1 \cdot xy = \frac{2}{5}x^3 - xy$.
Переводя коэффициент в десятичную дробь, получаем $0,4x^3 - xy$.
Ответ: $0,4x^3 - xy$.

б) Умножим одночлен $\frac{1}{3}c^2$ на каждый член многочлена $(1,2d^2 - 6c)$.
$\frac{1}{3}c^2(1,2d^2 - 6c) = \frac{1}{3}c^2 \cdot 1,2d^2 - \frac{1}{3}c^2 \cdot 6c$.
Представим десятичную дробь $1,2$ в виде обыкновенной: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$\frac{1}{3}c^2 \cdot \frac{6}{5}d^2 - \frac{1}{3}c^2 \cdot 6c = (\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5})c^2d^2 - (\frac{1}{3} \cdot 6)c^{2+1}$.
Выполним вычисления:
$\frac{6}{15}c^2d^2 - \frac{6}{3}c^3 = \frac{2}{5}c^2d^2 - 2c^3$.
Переводя коэффициент в десятичную дробь, получаем $0,4c^2d^2 - 2c^3$.
Ответ: $0,4c^2d^2 - 2c^3$.

в) Применим распределительное свойство для умножения одночлена $\frac{1}{2}ab$ на многочлен $(\frac{2}{3}a^2 - \frac{3}{4}ab + \frac{4}{5}b^2)$.
$\frac{1}{2}ab(\frac{2}{3}a^2 - \frac{3}{4}ab + \frac{4}{5}b^2) = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab \cdot \frac{3}{4}ab + \frac{1}{2}ab \cdot \frac{4}{5}b^2$.
Выполним умножение для каждого члена, перемножая коэффициенты и складывая степени соответствующих переменных:
$(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})a^{1+2}b - (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4})a^{1+1}b^{1+1} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5})ab^{1+2} = \frac{2}{6}a^3b - \frac{3}{8}a^2b^2 + \frac{4}{10}ab^3$.
Сократим дроби:
$\frac{1}{3}a^3b - \frac{3}{8}a^2b^2 + \frac{2}{5}ab^3$.
Ответ: $\frac{1}{3}a^3b - \frac{3}{8}a^2b^2 + \frac{2}{5}ab^3$.

г) Умножим одночлен $-\frac{2}{5}a^2y^5$ на каждый член многочлена $(5ay^2 - \frac{1}{2}a^2y - \frac{5}{6}a^3)$, обращая внимание на знаки.
$-\frac{2}{5}a^2y^5(5ay^2 - \frac{1}{2}a^2y - \frac{5}{6}a^3) = (-\frac{2}{5}a^2y^5) \cdot (5ay^2) + (-\frac{2}{5}a^2y^5) \cdot (-\frac{1}{2}a^2y) + (-\frac{2}{5}a^2y^5) \cdot (-\frac{5}{6}a^3)$.
Вычислим каждый член по отдельности:
1) $(-\frac{2}{5} \cdot 5)a^{2+1}y^{5+2} = -2a^3y^7$.
2) $(-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{1}{2})a^{2+2}y^{5+1} = \frac{2}{10}a^4y^6 = \frac{1}{5}a^4y^6$.
3) $(-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{5}{6})a^{2+3}y^5 = \frac{10}{30}a^5y^5 = \frac{1}{3}a^5y^5$.
Сложив полученные члены, получаем многочлен:
$-2a^3y^7 + \frac{1}{5}a^4y^6 + \frac{1}{3}a^5y^5$.
Ответ: $-2a^3y^7 + \frac{1}{5}a^4y^6 + \frac{1}{3}a^5y^5$.

633. Выполните умножение:

а) Чтобы выполнить умножение, необходимо умножить одночлен $-3x^2$ на каждый член многочлена $(-x^3 + x - 5)$, используя распределительное свойство умножения.

$-3x^2(-x^3 + x - 5) = (-3x^2) \cdot (-x^3) + (-3x^2) \cdot x + (-3x^2) \cdot (-5)$

Выполним умножение для каждого слагаемого, помня, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(-3x^2) \cdot (-x^3) = 3x^{2+3} = 3x^5$

$(-3x^2) \cdot x = -3x^{2+1} = -3x^3$

$(-3x^2) \cdot (-5) = 15x^2$

Соберем полученные одночлены в многочлен:

$3x^5 - 3x^3 + 15x^2$

Ответ: $3x^5 - 3x^3 + 15x^2$

б) Умножим каждый член многочлена $(1 + 2a - a^2)$ на одночлен $5a$.

$(1 + 2a - a^2) \cdot 5a = 1 \cdot 5a + 2a \cdot 5a + (-a^2) \cdot 5a$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$1 \cdot 5a = 5a$

$2a \cdot 5a = (2 \cdot 5)a^{1+1} = 10a^2$

$(-a^2) \cdot 5a = -5a^{2+1} = -5a^3$

Запишем результат в виде многочлена, расположив члены по убыванию степеней переменной $a$:

$-5a^3 + 10a^2 + 5a$

Ответ: $-5a^3 + 10a^2 + 5a$

в) Умножим одночлен $\frac{2}{3}x^2y$ на каждый член многочлена $(15x - 0,9y + 6)$.

$\frac{2}{3}x^2y(15x - 0,9y + 6) = (\frac{2}{3}x^2y) \cdot (15x) + (\frac{2}{3}x^2y) \cdot (-0,9y) + (\frac{2}{3}x^2y) \cdot 6$

Выполним умножение для каждого слагаемого. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,9$ в виде обыкновенной: $0,9 = \frac{9}{10}$.

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot (15x) = (\frac{2 \cdot 15}{3}) x^{2+1}y = \frac{30}{3}x^3y = 10x^3y$

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot (-0,9y) = (\frac{2}{3} \cdot (-\frac{9}{10})) x^2 y^{1+1} = -\frac{18}{30}x^2y^2 = -\frac{3}{5}x^2y^2 = -0,6x^2y^2$

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot 6 = (\frac{2 \cdot 6}{3}) x^2y = \frac{12}{3}x^2y = 4x^2y$

Сложим полученные результаты:

$10x^3y - 0,6x^2y^2 + 4x^2y$

Ответ: $10x^3y - 0,6x^2y^2 + 4x^2y$

г) Умножим одночлен $3a^4x$ на каждый член многочлена $(a^2 - 2ax + x^3 - 1)$.

$3a^4x(a^2 - 2ax + x^3 - 1) = (3a^4x) \cdot a^2 + (3a^4x) \cdot (-2ax) + (3a^4x) \cdot x^3 + (3a^4x) \cdot (-1)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(3a^4x) \cdot a^2 = 3a^{4+2}x = 3a^6x$

$(3a^4x) \cdot (-2ax) = - (3 \cdot 2) a^{4+1}x^{1+1} = -6a^5x^2$

$(3a^4x) \cdot x^3 = 3a^4x^{1+3} = 3a^4x^4$

$(3a^4x) \cdot (-1) = -3a^4x$

Сложим полученные результаты:

$3a^6x - 6a^5x^2 + 3a^4x^4 - 3a^4x$

Ответ: $3a^6x - 6a^5x^2 + 3a^4x^4 - 3a^4x$

д) Умножим каждый член многочлена $(x^2y - xy + xy^2 + y^3)$ на одночлен $3xy^2$.

$(x^2y - xy + xy^2 + y^3) \cdot 3xy^2 = (x^2y) \cdot (3xy^2) + (-xy) \cdot (3xy^2) + (xy^2) \cdot (3xy^2) + y^3 \cdot (3xy^2)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(x^2y) \cdot (3xy^2) = 3x^{2+1}y^{1+2} = 3x^3y^3$

$(-xy) \cdot (3xy^2) = -3x^{1+1}y^{1+2} = -3x^2y^3$

$(xy^2) \cdot (3xy^2) = 3x^{1+1}y^{2+2} = 3x^2y^4$

$y^3 \cdot (3xy^2) = 3xy^{3+2} = 3xy^5$

Сложим полученные результаты:

$3x^3y^3 - 3x^2y^3 + 3x^2y^4 + 3xy^5$

Ответ: $3x^3y^3 - 3x^2y^3 + 3x^2y^4 + 3xy^5$

е) Умножим одночлен $-\frac{3}{7}a^4$ на каждый член многочлена $(2,1b^2 - 0,7a + 35)$. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $2,1 = \frac{21}{10}$ и $0,7 = \frac{7}{10}$.

$-\frac{3}{7}a^4(2,1b^2 - 0,7a + 35) = (-\frac{3}{7}a^4) \cdot (\frac{21}{10}b^2) + (-\frac{3}{7}a^4) \cdot (-\frac{7}{10}a) + (-\frac{3}{7}a^4) \cdot 35$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot (\frac{21}{10}b^2) = -\frac{3 \cdot 21}{7 \cdot 10}a^4b^2 = -\frac{3 \cdot 3}{10}a^4b^2 = -\frac{9}{10}a^4b^2 = -0,9a^4b^2$

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot (-\frac{7}{10}a) = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 10}a^{4+1} = \frac{3}{10}a^5 = 0,3a^5$

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot 35 = -\frac{3 \cdot 35}{7}a^4 = -(3 \cdot 5)a^4 = -15a^4$

Сложим полученные результаты. Для стандартного вида многочлена расположим слагаемые по убыванию степени переменной $a$:

$0,3a^5 - 15a^4 - 0,9a^4b^2$

Ответ: $0,3a^5 - 15a^4 - 0,9a^4b^2$

634. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 3(2х − 1) + 5(3 − х) при х = − 1,5;
б) 25a − 4(3a − 1) + 7(5 − 2a) при a = 11;
в) 4у − 2(10у − 1) + (8у − 2) при у = −0,1;
г) 12(2 − 3p) + 35p − 9(p + 1) при p = 2.

а) $3(2x - 1) + 5(3 - x)$ при $x = -1,5$

Сначала упростим выражение, раскрыв скобки: $3 \cdot 2x - 3 \cdot 1 + 5 \cdot 3 - 5 \cdot x = 6x - 3 + 15 - 5x$.

Теперь приведем подобные слагаемые: $(6x - 5x) + (15 - 3) = x + 12$.

Подставим значение $x = -1,5$ в полученное выражение: $-1,5 + 12 = 10,5$.

Ответ: $10,5$.

б) $25a - 4(3a - 1) + 7(5 - 2a)$ при $a = 11$

Упростим выражение, раскрыв скобки: $25a - 4 \cdot 3a - 4 \cdot (-1) + 7 \cdot 5 + 7 \cdot (-2a) = 25a - 12a + 4 + 35 - 14a$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(25a - 12a - 14a) + (4 + 35) = -a + 39$.

Подставим значение $a = 11$ в полученное выражение: $-11 + 39 = 28$.

Ответ: $28$.

в) $4y - 2(10y - 1) + (8y - 2)$ при $y = -0,1$

Упростим выражение, раскрыв скобки: $4y - 2 \cdot 10y - 2 \cdot (-1) + 8y - 2 = 4y - 20y + 2 + 8y - 2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(4y - 20y + 8y) + (2 - 2) = -8y$.

Подставим значение $y = -0,1$ в полученное выражение: $-8 \cdot (-0,1) = 0,8$.

Ответ: $0,8$.

г) $12(2 - 3p) + 35p - 9(p + 1)$ при $p = 2$

Упростим выражение, раскрыв скобки: $12 \cdot 2 - 12 \cdot 3p + 35p - 9 \cdot p - 9 \cdot 1 = 24 - 36p + 35p - 9p - 9$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(-36p + 35p - 9p) + (24 - 9) = -10p + 15$.

Подставим значение $p = 2$ в полученное выражение: $-10 \cdot 2 + 15 = -20 + 15 = -5$.

Ответ: $-5$.

635. Представьте в виде многочлена:

а) $14b + 1 - 6(2 - 11b)$
Чтобы представить выражение в виде многочлена, сначала раскроем скобки. Для этого умножим $-6$ на каждый член в скобках $(2 - 11b)$:
$14b + 1 - 6 \cdot 2 - 6 \cdot (-11b) = 14b + 1 - 12 + 66b$
Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем и сложим члены с переменной $b$ и свободные члены (числа):
$(14b + 66b) + (1 - 12) = 80b - 11$
Ответ: $80b - 11$

б) $25(2 - 3c) + 16(5c - 1)$
Раскроем скобки, умножив каждый множитель перед скобками на члены внутри них:
$25 \cdot 2 + 25 \cdot (-3c) + 16 \cdot 5c + 16 \cdot (-1) = 50 - 75c + 80c - 16$
Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с переменной $c$ и свободные члены:
$(-75c + 80c) + (50 - 16) = 5c + 34$
Ответ: $5c + 34$

в) $14(7x - 1) - 7(14x + 1)$
Раскроем скобки, выполнив умножение:
$14 \cdot 7x + 14 \cdot (-1) - 7 \cdot 14x - 7 \cdot 1 = 98x - 14 - 98x - 7$
Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с переменной $x$ и свободные члены:
$(98x - 98x) + (-14 - 7) = 0 - 21 = -21$
Ответ: $-21$

г) $36(2 - y) - 6(5 - 2y)$
Раскроем скобки, умножив множители на выражения в скобках:
$36 \cdot 2 + 36 \cdot (-y) - 6 \cdot 5 - 6 \cdot (-2y) = 72 - 36y - 30 + 12y$
Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с переменной $y$ и свободные члены:
$(-36y + 12y) + (72 - 30) = -24y + 42$
Ответ: $-24y + 42$