Страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

618. Докажите, что не зависит от х значение выражения

$(\frac{3}{5}{х}^2 - 0,4ху - 1,5у + 1) - ({у}^2 - \frac{2}{5}ху + 0,6{х}^2).$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения переменная $x$ исчезнет (сократится), то утверждение будет доказано.

Запишем исходное выражение:

$(\frac{3}{5}x^2 - 0.4xy - 1.5y + 1) - (y^2 - \frac{2}{5}xy + 0.6x^2)$

Для удобства дальнейших вычислений представим все коэффициенты в виде десятичных или обыкновенных дробей. Заметим, что $\frac{3}{5} = 0.6$ и $\frac{2}{5} = 0.4$. Подставим эти значения в выражение:

$(0.6x^2 - 0.4xy - 1.5y + 1) - (y^2 - 0.4xy + 0.6x^2)$

Теперь раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$0.6x^2 - 0.4xy - 1.5y + 1 - y^2 + 0.4xy - 0.6x^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью.

$(0.6x^2 - 0.6x^2) + (-0.4xy + 0.4xy) - y^2 - 1.5y + 1$

Выполним действия в скобках:

$0 + 0 - y^2 - 1.5y + 1 = -y^2 - 1.5y + 1$

Полученное в результате упрощения выражение $-y^2 - 1.5y + 1$ не содержит переменную $x$. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-y^2 - 1.5y + 1$. Так как переменная $x$ в итоговом выражении отсутствует, его значение не зависит от $x$.

619. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
а) 1,7 − 10b² − (1 − 3b²) + (2,3 + 7b²);
б) 1 − b² − (3b − 2b²) + (1 + 3b − b²).

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения переменная исчезнет и останется только число, то утверждение будет доказано.

а) $1,7 - 10b^2 - (1 - 3b^2) + (2,3 + 7b^2)$

Сначала раскроем скобки. Перед первыми скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные. Перед вторыми скобками стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых остаются прежними:

$1,7 - 10b^2 - 1 + 3b^2 + 2,3 + 7b^2$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: сгруппируем числовые коэффициенты и слагаемые, содержащие $b^2$.

$(1,7 - 1 + 2,3) + (-10b^2 + 3b^2 + 7b^2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$1,7 - 1 + 2,3 = 0,7 + 2,3 = 3$

$-10b^2 + 3b^2 + 7b^2 = (-10 + 3 + 7)b^2 = 0 \cdot b^2 = 0$

Сложим полученные результаты:

$3 + 0 = 3$

Так как в результате упрощения получилось число 3, которое не содержит переменной $b$, значение выражения не зависит от значения этой переменной.

Ответ: 3

б) $1 - b^2 - (3b - 2b^2) + (1 + 3b - b^2)$

Раскроем скобки, учитывая знаки перед ними:

$1 - b^2 - 3b + 2b^2 + 1 + 3b - b^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: сгруппируем константы, слагаемые с $b$ и слагаемые с $b^2$.

$(1 + 1) + (-3b + 3b) + (-b^2 + 2b^2 - b^2)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$1 + 1 = 2$

$-3b + 3b = 0$

$-b^2 + 2b^2 - b^2 = (-1 + 2 - 1)b^2 = 0 \cdot b^2 = 0$

Сложим полученные результаты:

$2 + 0 + 0 = 2$

Так как в результате упрощения получилось число 2, которое не содержит переменной $b$, значение выражения не зависит от значения этой переменной.

Ответ: 2

620. Пусть х = 5а² + 6ab − b², у = −4а² + 2ab + 3b², z = 9а² + 4аb. Подставьте эти многочлены вместо х, у и z в данное выражение и упростите его: а) х + у + z; б) х − у − z.

Даны многочлены:

$x = 5a^2 + 6ab - b^2$

$y = -4a^2 + 2ab + 3b^2$

$z = 9a^2 + 4ab$

а) $x + y + z$

Подставим данные многочлены в выражение и раскроем скобки:
$x + y + z = (5a^2 + 6ab - b^2) + (-4a^2 + 2ab + 3b^2) + (9a^2 + 4ab) = $
$= 5a^2 + 6ab - b^2 - 4a^2 + 2ab + 3b^2 + 9a^2 + 4ab$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5a^2 - 4a^2 + 9a^2) + (6ab + 2ab + 4ab) + (-b^2 + 3b^2) = $
$= (5 - 4 + 9)a^2 + (6 + 2 + 4)ab + (-1 + 3)b^2 = $
$= 10a^2 + 12ab + 2b^2$

Ответ: $10a^2 + 12ab + 2b^2$.

б) $x - y - z$

Подставим данные многочлены в выражение. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак минус, нужно поменять знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные:
$x - y - z = (5a^2 + 6ab - b^2) - (-4a^2 + 2ab + 3b^2) - (9a^2 + 4ab) = $
$= 5a^2 + 6ab - b^2 + 4a^2 - 2ab - 3b^2 - 9a^2 - 4ab$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(5a^2 + 4a^2 - 9a^2) + (6ab - 2ab - 4ab) + (-b^2 - 3b^2) = $
$= (5 + 4 - 9)a^2 + (6 - 2 - 4)ab + (-1 - 3)b^2 = $
$= 0 \cdot a^2 + 0 \cdot ab - 4b^2 = -4b^2$

Ответ: $-4b^2$.

621. Решите уравнение:

а) $(23 + 3x) + (8x - 41) = 15$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед обеими скобками стоит знак плюс (или он отсутствует), знаки слагаемых внутри скобок не меняются:

$23 + 3x + 8x - 41 = 15$

Теперь приведем подобные слагаемые: сгруппируем члены с переменной $x$ и числовые члены.

$(3x + 8x) + (23 - 41) = 15$

$11x - 18 = 15$

Перенесем число $-18$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$11x = 15 + 18$

$11x = 33$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 11:

$x = \frac{33}{11}$

$x = 3$

Ответ: 3

б) $(19 + 2x) - (5x - 11) = 25$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому все знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$19 + 2x - 5x + 11 = 25$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x - 5x) + (19 + 11) = 25$

$-3x + 30 = 25$

Перенесем число 30 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-3x = 25 - 30$

$-3x = -5$

Разделим обе части уравнения на $-3$:

$x = \frac{-5}{-3}$

$x = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

в) $(3,2y - 1,8) - (5,2y + 3,4) = -5,8$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых внутри нее меняются на противоположные:

$3,2y - 1,8 - 5,2y - 3,4 = -5,8$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(3,2y - 5,2y) + (-1,8 - 3,4) = -5,8$

$-2y - 5,2 = -5,8$

Перенесем $-5,2$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$-2y = -5,8 + 5,2$

$-2y = -0,6$

Разделим обе части уравнения на $-2$:

$y = \frac{-0,6}{-2}$

$y = 0,3$

Ответ: 0,3

г) $1 - (0,5x - 15,8) = 12,8 - 0,7x$

Раскроем скобки в левой части уравнения, изменив знаки слагаемых в скобках на противоположные:

$1 - 0,5x + 15,8 = 12,8 - 0,7x$

Упростим левую часть, сложив числовые члены:

$16,8 - 0,5x = 12,8 - 0,7x$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки при переносе:

$-0,5x + 0,7x = 12,8 - 16,8$

$0,2x = -4$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,2:

$x = \frac{-4}{0,2} = \frac{-40}{2}$

$x = -20$

Ответ: -20

д) $3,8 - 1,5y + (4,5y - 0,8) = 2,4y + 3$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3,8 - 1,5y + 4,5y - 0,8 = 2,4y + 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-1,5y + 4,5y) + (3,8 - 0,8) = 2,4y + 3$

$3y + 3 = 2,4y + 3$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3y - 2,4y = 3 - 3$

$0,6y = 0$

Разделим обе части уравнения на 0,6:

$y = \frac{0}{0,6}$

$y = 0$

Ответ: 0

е) $4,2y + 0,8 = 6,2y - (1,1y + 0,8) + 1,2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, меняя знаки на противоположные:

$4,2y + 0,8 = 6,2y - 1,1y - 0,8 + 1,2$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$4,2y + 0,8 = (6,2y - 1,1y) + (-0,8 + 1,2)$

$4,2y + 0,8 = 5,1y + 0,4$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую, чтобы коэффициенты остались положительными:

$0,8 - 0,4 = 5,1y - 4,2y$

$0,4 = 0,9y$

Чтобы найти $y$, поменяем части уравнения местами и разделим на коэффициент при $y$:

$0,9y = 0,4$

$y = \frac{0,4}{0,9}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 10:

$y = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

622. Решите уравнение:

а) $8y - 3 - (5 - 2y) = 4,3$
Сначала раскроем скобки в левой части уравнения. Поскольку перед скобками стоит знак «минус», знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$8y - 3 - 5 + 2y = 4,3$
Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:
$(8y + 2y) + (-3 - 5) = 4,3$
$10y - 8 = 4,3$
Перенесем число -8 в правую часть уравнения, изменив знак на «плюс»:
$10y = 4,3 + 8$
$10y = 12,3$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 10:
$y = \frac{12,3}{10}$
$y = 1,23$
Ответ: $y = 1,23$

б) $0,5y - 1 - (2y + 4) = y$
Раскроем скобки в левой части уравнения, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные:
$0,5y - 1 - 2y - 4 = y$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(0,5y - 2y) + (-1 - 4) = y$
$-1,5y - 5 = y$
Теперь сгруппируем все слагаемые с переменной $y$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $-1,5y$ вправо, а слагаемое $y$ оставим там же:
$-5 = y + 1,5y$
$-5 = 2,5y$
Чтобы найти $y$, разделим обе части на 2,5:
$y = \frac{-5}{2,5}$
$y = -2$
Ответ: $y = -2$

в) $-8x + (4 + 3x) = 10 - x$
Раскроем скобки в левой части. Так как перед скобками стоит знак «плюс», знаки слагаемых не меняются:
$-8x + 4 + 3x = 10 - x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(-8x + 3x) + 4 = 10 - x$
$-5x + 4 = 10 - x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:
$-5x + x = 10 - 4$
$-4x = 6$
Разделим обе части уравнения на -4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{6}{-4}$
$x = -1,5$
Ответ: $x = -1,5$

г) $1,3x - 2 - (3,3x + 5) = 2x + 1$
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:
$1,3x - 2 - 3,3x - 5 = 2x + 1$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(1,3x - 3,3x) + (-2 - 5) = 2x + 1$
$-2x - 7 = 2x + 1$
Соберем все слагаемые с $x$ в одной части, а числа — в другой. Перенесем $-2x$ вправо, а 1 — влево:
$-7 - 1 = 2x + 2x$
$-8 = 4x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{-8}{4}$
$x = -2$
Ответ: $x = -2$

623. Представьте выражение в виде суммы каких−нибудь двучленов:

а) 3х³ − 2х² − х + 4; б) −5у⁴ + 4у³ + 3у² − 2у.

а) Чтобы представить выражение $3x^3 - 2x^2 - x + 4$ в виде суммы двучленов, необходимо сгруппировать его члены, которых всего четыре, в две пары. Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. Задание позволяет выбрать любую удобную группировку.
Сгруппируем первые два члена вместе и последние два члена вместе:
Первый двучлен: $(3x^3 - 2x^2)$.
Второй двучлен: $(-x + 4)$.
Сумма этих двучленов будет выглядеть так: $(3x^3 - 2x^2) + (-x + 4)$. Если раскрыть скобки, мы получим исходное выражение, что подтверждает правильность группировки.
Ответ: $(3x^3 - 2x^2) + (-x + 4)$.

б) Аналогично поступим с выражением $-5y^4 + 4y^3 + 3y^2 - 2y$. Данный многочлен также состоит из четырех членов. Мы можем представить его в виде суммы двух двучленов, сгруппировав члены попарно.
Сгруппируем первые два члена и последние два члена:
Первый двучлен: $(-5y^4 + 4y^3)$.
Второй двучлен: $(3y^2 - 2y)$.
Запишем сумму этих двучленов: $(-5y^4 + 4y^3) + (3y^2 - 2y)$. Раскрыв скобки, мы вернемся к исходному выражению.
Ответ: $(-5y^4 + 4y^3) + (3y^2 - 2y)$.

624. Представьте выражение каким−либо способом в виде разности одночлена и трёхчлена:

а) х³ + 2х² − 3х − 5; б) 3a² + 2а³ + 5а² − 4.

Задача состоит в том, чтобы представить многочлен, состоящий из четырёх членов, в виде разности одночлена и трёхчлена. Это можно сделать, выбрав один из членов исходного многочлена в качестве уменьшаемого (одночлена), а затем сгруппировав оставшиеся три члена в вычитаемое (трёхчлен), изменив их знаки на противоположные.

а) Рассмотрим выражение $x^3 + 2x^2 - 3x - 5$.

Выберем в качестве одночлена первый член $x^3$. Теперь нам нужно найти такой трёхчлен $T$, чтобы выполнялось равенство:

$x^3 + 2x^2 - 3x - 5 = x^3 - T$

Из этого равенства видно, что $-T$ должно быть равно оставшейся части исходного многочлена:

$-T = 2x^2 - 3x - 5$

Чтобы найти $T$, необходимо умножить обе части равенства на $-1$:

$T = -(2x^2 - 3x - 5) = -2x^2 + 3x + 5$

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде разности одночлена $x^3$ и трёхчлена $(-2x^2 + 3x + 5)$.

Проверка: $x^3 - (-2x^2 + 3x + 5) = x^3 + 2x^2 - 3x - 5$. Равенство верное.

Ответ: $x^3 - (-2x^2 + 3x + 5)$.

б) Рассмотрим выражение $3a^4 + 2a^3 + 5a^2 - 4$.

Применим тот же подход. Выберем в качестве одночлена первый член выражения, то есть $3a^4$. Тогда должно выполняться равенство:

$3a^4 + 2a^3 + 5a^2 - 4 = 3a^4 - T$

Из равенства следует, что $-T$ равно сумме остальных членов:

$-T = 2a^3 + 5a^2 - 4$

Найдём $T$, умножив обе части на $-1$:

$T = -(2a^3 + 5a^2 - 4) = -2a^3 - 5a^2 + 4$

Следовательно, искомое представление имеет вид разности одночлена $3a^4$ и трёхчлена $(-2a^3 - 5a^2 + 4)$.

Проверка: $3a^4 - (-2a^3 - 5a^2 + 4) = 3a^4 + 2a^3 + 5a^2 - 4$. Равенство верное.

Ответ: $3a^4 - (-2a^3 - 5a^2 + 4)$.

625. Известно, что при некоторых натуральных значениях п значение выражения n³ + n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях n значение выражения:

а) n³ + 31n; б) n³ − 29 n?

По условию задачи, для некоторых натуральных значений $n$ выражение $n^3+n$ кратно 30. Это означает, что существует некоторое целое число $k$, такое что выполняется равенство:

$n^3+n = 30k$

Мы будем использовать это свойство для анализа выражений в пунктах а) и б).

а) $n^3+31n$

Преобразуем данное выражение, чтобы выделить в нем известную нам часть $n^3+n$:

$n^3+31n = n^3+n+30n = (n^3+n) + 30n$

Теперь проанализируем получившуюся сумму:

Первое слагаемое, $(n^3+n)$, кратно 30 по условию задачи.

Второе слагаемое, $30n$, очевидно кратно 30, так как является произведением числа 30 и натурального числа $n$.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 30, также делится на 30. Следовательно, выражение $n^3+31n$ будет кратно 30 при тех же значениях $n$.

Ответ: да, будет кратно.

б) $n^3-29n$

Аналогично преобразуем второе выражение, выделив в нем $n^3+n$:

$n^3-29n = n^3+n-30n = (n^3+n) - 30n$

Проанализируем получившуюся разность:

Уменьшаемое, $(n^3+n)$, кратно 30 по условию задачи.

Вычитаемое, $30n$, также кратно 30.

Разность двух чисел, каждое из которых делится на 30, также делится на 30. Следовательно, выражение $n^3-29n$ будет кратно 30 при тех же значениях $n$.

Ответ: да, будет кратно.

626. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма:
а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;
б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.

Чтобы доказать, что сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3, обозначим первое из этих чисел через $n$. Поскольку числа последовательные, следующими за ним будут $n+1$ и $n+2$.

Найдём их сумму $S_3$: $S_3 = n + (n+1) + (n+2)$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $S_3 = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $S_3 = 3(n+1)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n+1$ — также натуральное число. Полученное выражение $3(n+1)$ представляет собой произведение числа 3 и натурального числа $n+1$. Любое число, которое можно представить в виде произведения $3k$, где $k$ — целое число, кратно 3. Следовательно, сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда кратна 3.

Ответ: утверждение доказано.

Чтобы доказать, что сумма четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4, обозначим первое из этих чисел через $n$. Тогда следующие три числа — это $n+1$, $n+2$ и $n+3$.

Найдём их сумму $S_4$: $S_4 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Упростим выражение: $S_4 = 4n + (1+2+3) = 4n + 6$

Чтобы проверить делимость на 4, посмотрим на остаток от деления этого выражения на 4. Выражение $4n$ очевидно делится на 4 без остатка. Число 6 при делении на 4 даёт в остатке 2 ($6 = 4 \cdot 1 + 2$). Можно записать всю сумму так: $S_4 = 4n + 6 = 4(n+1) + 2$

Из этой записи видно, что при делении суммы $S_4$ на 4 всегда будет остаток 2. Поскольку остаток не равен нулю, сумма четырёх последовательных натуральных чисел никогда не кратна 4.

Ответ: утверждение доказано.

По аналогии с пунктом а), можно высказать следующее предположение: сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5.

Проверим, верно ли это предположение. Обозначим первое из пяти последовательных натуральных чисел через $n$. Тогда остальные числа равны $n+1$, $n+2$, $n+3$ и $n+4$.

Найдём их сумму $S_5$: $S_5 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$

Упростим выражение: $S_5 = 5n + (1+2+3+4) = 5n + 10$

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $S_5 = 5(n+2)$

Так как $n$ — натуральное число, $n+2$ — также натуральное число. Сумма $S_5$ представляется в виде произведения числа 5 и натурального числа $n+2$. Следовательно, эта сумма всегда кратна 5. Таким образом, наше предположение оказалось верным.

Ответ: предположение о том, что сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5, верно.