Номер 625, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 8. Сумма и разность многочленов. 26. Сложение и вычитание многочленов - номер 625, страница 135.

Условие.

625. Известно, что при некоторых натуральных значениях п значение выражения n³ + n кратно 30. Будет ли кратно 30 при тех же значениях n значение выражения:

а) n³ + 31n; б) n³ − 29 n?

Решение 1.

n³ + n кратно 30 по условию

а) n³ + 31n = (n³ + n) +30n кратно 30, так как n³ + n кратно 30 и 30n кратно 30. Значит и их сумма так же кратна 30.

б) n³ - 29n = n³ - (30n - n) =
= n³ - 30n + n = (n³ + n) - 30n кратно 30, так как n³ + n кратно 30 и -30n кратно 30.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По условию задачи, для некоторых натуральных значений $n$ выражение $n^3+n$ кратно 30. Это означает, что существует некоторое целое число $k$, такое что выполняется равенство:

$n^3+n = 30k$

Мы будем использовать это свойство для анализа выражений в пунктах а) и б).

а) $n^3+31n$

Преобразуем данное выражение, чтобы выделить в нем известную нам часть $n^3+n$:

$n^3+31n = n^3+n+30n = (n^3+n) + 30n$

Теперь проанализируем получившуюся сумму:

Первое слагаемое, $(n^3+n)$, кратно 30 по условию задачи.

Второе слагаемое, $30n$, очевидно кратно 30, так как является произведением числа 30 и натурального числа $n$.

Сумма двух чисел, каждое из которых делится на 30, также делится на 30. Следовательно, выражение $n^3+31n$ будет кратно 30 при тех же значениях $n$.

Ответ: да, будет кратно.

б) $n^3-29n$

Аналогично преобразуем второе выражение, выделив в нем $n^3+n$:

$n^3-29n = n^3+n-30n = (n^3+n) - 30n$

Проанализируем получившуюся разность:

Уменьшаемое, $(n^3+n)$, кратно 30 по условию задачи.

Вычитаемое, $30n$, также кратно 30.

Разность двух чисел, каждое из которых делится на 30, также делится на 30. Следовательно, выражение $n^3-29n$ будет кратно 30 при тех же значениях $n$.

Ответ: да, будет кратно.