Номер 628, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

628. Представьте выражение в виде одночлена:

а) Для упрощения выражения $(2x^2)^3 \cdot \frac{1}{4}x^2$ сначала возведем в степень первый множитель, используя свойства степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8 \cdot x^{2 \cdot 3} = 8x^6$.
Теперь умножим полученный одночлен на второй множитель:
$8x^6 \cdot \frac{1}{4}x^2$.
Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(8 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (x^6 \cdot x^2) = 2 \cdot x^{6+2} = 2x^8$.
Ответ: $2x^8$.

б) Для упрощения выражения $-0,2a^2b^3 \cdot (-5a^3b^2)^2$ сначала возведем в степень второй множитель:
$(-5a^3b^2)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 25 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} = 25a^6b^4$.
Теперь умножим первый одночлен на полученный результат:
$-0,2a^2b^3 \cdot 25a^6b^4$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени:
$(-0,2 \cdot 25) \cdot (a^2 \cdot a^6) \cdot (b^3 \cdot b^4) = -5 \cdot a^{2+6} \cdot b^{3+4} = -5a^8b^7$.
Ответ: $-5a^8b^7$.

в) Для упрощения выражения $(-3y^4)^3 \cdot \frac{1}{9}y^5$ сначала возведем в степень первый множитель:
$(-3y^4)^3 = (-3)^3 \cdot (y^4)^3 = -27 \cdot y^{4 \cdot 3} = -27y^{12}$.
Теперь выполним умножение:
$-27y^{12} \cdot \frac{1}{9}y^5$.
Перемножим коэффициенты и степени:
$(-27 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (y^{12} \cdot y^5) = -3 \cdot y^{12+5} = -3y^{17}$.
Ответ: $-3y^{17}$.

г) Для упрощения выражения $(-0,5c^4d)^3 \cdot (-4c^2d^2)^2$ возведем в степень каждый множитель по отдельности:
$(-0,5c^4d)^3 = (-0,5)^3 \cdot (c^4)^3 \cdot d^3 = -0,125c^{12}d^3$.
$(-4c^2d^2)^2 = (-4)^2 \cdot (c^2)^2 \cdot (d^2)^2 = 16c^4d^4$.
Теперь перемножим полученные одночлены:
$(-0,125c^{12}d^3) \cdot (16c^4d^4)$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(-0,125 \cdot 16) \cdot (c^{12} \cdot c^4) \cdot (d^3 \cdot d^4) = -2c^{12+4}d^{3+4} = -2c^{16}d^7$.
Ответ: $-2c^{16}d^7$.

д) Для упрощения выражения $(-pq)^6 \cdot (6p^2q)^3$ возведем в степень каждый множитель. Так как показатель степени 6 — четное число, знак минус исчезает:
$(-pq)^6 = p^6q^6$.
$(6p^2q)^3 = 6^3 \cdot (p^2)^3 \cdot q^3 = 216p^6q^3$.
Теперь перемножим результаты:
$(p^6q^6) \cdot (216p^6q^3)$.
Сгруппируем и перемножим:
$216 \cdot (p^6 \cdot p^6) \cdot (q^6 \cdot q^3) = 216p^{6+6}q^{6+3} = 216p^{12}q^9$.
Ответ: $216p^{12}q^9$.

е) Для упрощения выражения $(3mn)^4 \cdot (-3mn^2)^6$ возведем в степень каждый множитель. Так как показатель степени 6 во втором множителе — четное число, знак минус исчезает:
$(3mn)^4 = 3^4 \cdot m^4 \cdot n^4 = 81m^4n^4$.
$(-3mn^2)^6 = (-3)^6 \cdot m^6 \cdot (n^2)^6 = 729m^6n^{12}$.
Теперь перемножим полученные одночлены:
$(81m^4n^4) \cdot (729m^6n^{12})$.
Сгруппируем и перемножим. Коэффициент можно вычислить как $81 \cdot 729 = 3^4 \cdot 3^6 = 3^{10} = 59049$:
$(81 \cdot 729) \cdot (m^4 \cdot m^6) \cdot (n^4 \cdot n^{12}) = 59049m^{4+6}n^{4+12} = 59049m^{10}n^{16}$.
Ответ: $59049m^{10}n^{16}$.