Номер 627, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

627. (Задача − исследование.) В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого, написанной в начале XVIII в., предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа:

«Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в 2 раза и к произведению прибавил 5 единиц; затем полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа, а результат произведённых действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».

1) Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа.
2) Предложите соседу по парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат.
3) Найдите число, задуманное соседом.
4) Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа, предложенного в учебнике Л. Ф. Магницкого.

Для проверки способа выберем произвольное двузначное число, например, 73. В этом числе 7 десятков и 3 единицы. Выполним пошагово все действия, предложенные в задаче:

1. Увеличим число десятков (7) в 2 раза: $7 \cdot 2 = 14$.
2. К полученному произведению прибавим 5 единиц: $14 + 5 = 19$.
3. Полученную сумму увеличим в 5 раз: $19 \cdot 5 = 95$.
4. К новому произведению прибавим 10 единиц: $95 + 10 = 105$.
5. К результату прибавим число единиц задуманного числа (3): $105 + 3 = 108$.
6. Нам сообщили результат: 108.
7. Теперь из указанного результата вычтем 35: $108 - 35 = 73$.

Полученное число 73 в точности совпадает с задуманным числом. Способ работает.

Ответ: При выборе числа 73 и выполнении всех действий был получен результат 108. После вычитания из него 35 получилось исходное число 73, что подтверждает верность способа для данного примера.

Представим, что мы предложили соседу по парте задумать двузначное число и выполнить все указанные в условии действия. После выполнения всех шагов он сообщил нам итоговый результат — число 89.

Ответ: Сосед по парте сообщил результат 89.

Чтобы найти число, задуманное соседом, нужно из сообщенного им результата (89) вычесть 35.

$89 - 35 = 54$

Таким образом, задуманное число — 54.

Проверим это. Задуманное число 54 (5 десятков, 4 единицы).

1. $5 \cdot 2 = 10$
2. $10 + 5 = 15$
3. $15 \cdot 5 = 75$
4. $75 + 10 = 85$
5. $85 + 4 = 89$

Результат совпал с тем, что сообщил сосед. Значит, мы угадали число верно.

Ответ: Число, задуманное соседом, — 54.

Чтобы доказать справедливость этого способа для любого двузначного числа, воспользуемся алгеброй.

Пусть любое задуманное двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — число десятков ($a$ — целое число от 1 до 9), а $b$ — число единиц ($b$ — целое число от 0 до 9).

Теперь выполним все действия из условия задачи в общем виде:

1. Увеличим число десятков ($a$) в 2 раза: $2a$.
2. Прибавим 5: $2a + 5$.
3. Умножим полученную сумму на 5: $5 \cdot (2a + 5) = 10a + 25$.
4. Прибавим 10: $(10a + 25) + 10 = 10a + 35$.
5. Прибавим число единиц ($b$) задуманного числа: $(10a + 35) + b = 10a + b + 35$.

Таким образом, итоговый результат, который сообщается угадывающему, всегда равен $10a + b + 35$.

Последний шаг угадывающего — вычесть из этого результата 35:

$(10a + b + 35) - 35 = 10a + b$

Выражение $10a + b$ и есть первоначально задуманное двузначное число. Следовательно, этот способ является математически верным для любого двузначного числа.

Ответ: Справедливость способа доказана, так как в результате алгебраических преобразований, соответствующих описанным действиям, итоговое выражение упрощается до $10a+b$, что является общей формой записи задуманного двузначного числа.