Страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

627. (Задача − исследование.) В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого, написанной в начале XVIII в., предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа:

«Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в 2 раза и к произведению прибавил 5 единиц; затем полученную сумму увеличил в 5 раз и к новому произведению прибавил 10 единиц и число единиц задуманного числа, а результат произведённых действий сообщил бы тебе. Если ты из указанного результата вычтешь 35, то узнаешь задуманное число».

1) Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа.
2) Предложите соседу по парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат.
3) Найдите число, задуманное соседом.
4) Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа, предложенного в учебнике Л. Ф. Магницкого.

Для проверки способа выберем произвольное двузначное число, например, 73. В этом числе 7 десятков и 3 единицы. Выполним пошагово все действия, предложенные в задаче:

1. Увеличим число десятков (7) в 2 раза: $7 \cdot 2 = 14$.
2. К полученному произведению прибавим 5 единиц: $14 + 5 = 19$.
3. Полученную сумму увеличим в 5 раз: $19 \cdot 5 = 95$.
4. К новому произведению прибавим 10 единиц: $95 + 10 = 105$.
5. К результату прибавим число единиц задуманного числа (3): $105 + 3 = 108$.
6. Нам сообщили результат: 108.
7. Теперь из указанного результата вычтем 35: $108 - 35 = 73$.

Полученное число 73 в точности совпадает с задуманным числом. Способ работает.

Ответ: При выборе числа 73 и выполнении всех действий был получен результат 108. После вычитания из него 35 получилось исходное число 73, что подтверждает верность способа для данного примера.

Представим, что мы предложили соседу по парте задумать двузначное число и выполнить все указанные в условии действия. После выполнения всех шагов он сообщил нам итоговый результат — число 89.

Ответ: Сосед по парте сообщил результат 89.

Чтобы найти число, задуманное соседом, нужно из сообщенного им результата (89) вычесть 35.

$89 - 35 = 54$

Таким образом, задуманное число — 54.

Проверим это. Задуманное число 54 (5 десятков, 4 единицы).

1. $5 \cdot 2 = 10$
2. $10 + 5 = 15$
3. $15 \cdot 5 = 75$
4. $75 + 10 = 85$
5. $85 + 4 = 89$

Результат совпал с тем, что сообщил сосед. Значит, мы угадали число верно.

Ответ: Число, задуманное соседом, — 54.

Чтобы доказать справедливость этого способа для любого двузначного числа, воспользуемся алгеброй.

Пусть любое задуманное двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — число десятков ($a$ — целое число от 1 до 9), а $b$ — число единиц ($b$ — целое число от 0 до 9).

Теперь выполним все действия из условия задачи в общем виде:

1. Увеличим число десятков ($a$) в 2 раза: $2a$.
2. Прибавим 5: $2a + 5$.
3. Умножим полученную сумму на 5: $5 \cdot (2a + 5) = 10a + 25$.
4. Прибавим 10: $(10a + 25) + 10 = 10a + 35$.
5. Прибавим число единиц ($b$) задуманного числа: $(10a + 35) + b = 10a + b + 35$.

Таким образом, итоговый результат, который сообщается угадывающему, всегда равен $10a + b + 35$.

Последний шаг угадывающего — вычесть из этого результата 35:

$(10a + b + 35) - 35 = 10a + b$

Выражение $10a + b$ и есть первоначально задуманное двузначное число. Следовательно, этот способ является математически верным для любого двузначного числа.

Ответ: Справедливость способа доказана, так как в результате алгебраических преобразований, соответствующих описанным действиям, итоговое выражение упрощается до $10a+b$, что является общей формой записи задуманного двузначного числа.

628. Представьте выражение в виде одночлена:

а) Для упрощения выражения $(2x^2)^3 \cdot \frac{1}{4}x^2$ сначала возведем в степень первый множитель, используя свойства степени $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8 \cdot x^{2 \cdot 3} = 8x^6$.
Теперь умножим полученный одночлен на второй множитель:
$8x^6 \cdot \frac{1}{4}x^2$.
Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(8 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (x^6 \cdot x^2) = 2 \cdot x^{6+2} = 2x^8$.
Ответ: $2x^8$.

б) Для упрощения выражения $-0,2a^2b^3 \cdot (-5a^3b^2)^2$ сначала возведем в степень второй множитель:
$(-5a^3b^2)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^2)^2 = 25 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{2 \cdot 2} = 25a^6b^4$.
Теперь умножим первый одночлен на полученный результат:
$-0,2a^2b^3 \cdot 25a^6b^4$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени:
$(-0,2 \cdot 25) \cdot (a^2 \cdot a^6) \cdot (b^3 \cdot b^4) = -5 \cdot a^{2+6} \cdot b^{3+4} = -5a^8b^7$.
Ответ: $-5a^8b^7$.

в) Для упрощения выражения $(-3y^4)^3 \cdot \frac{1}{9}y^5$ сначала возведем в степень первый множитель:
$(-3y^4)^3 = (-3)^3 \cdot (y^4)^3 = -27 \cdot y^{4 \cdot 3} = -27y^{12}$.
Теперь выполним умножение:
$-27y^{12} \cdot \frac{1}{9}y^5$.
Перемножим коэффициенты и степени:
$(-27 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (y^{12} \cdot y^5) = -3 \cdot y^{12+5} = -3y^{17}$.
Ответ: $-3y^{17}$.

г) Для упрощения выражения $(-0,5c^4d)^3 \cdot (-4c^2d^2)^2$ возведем в степень каждый множитель по отдельности:
$(-0,5c^4d)^3 = (-0,5)^3 \cdot (c^4)^3 \cdot d^3 = -0,125c^{12}d^3$.
$(-4c^2d^2)^2 = (-4)^2 \cdot (c^2)^2 \cdot (d^2)^2 = 16c^4d^4$.
Теперь перемножим полученные одночлены:
$(-0,125c^{12}d^3) \cdot (16c^4d^4)$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(-0,125 \cdot 16) \cdot (c^{12} \cdot c^4) \cdot (d^3 \cdot d^4) = -2c^{12+4}d^{3+4} = -2c^{16}d^7$.
Ответ: $-2c^{16}d^7$.

д) Для упрощения выражения $(-pq)^6 \cdot (6p^2q)^3$ возведем в степень каждый множитель. Так как показатель степени 6 — четное число, знак минус исчезает:
$(-pq)^6 = p^6q^6$.
$(6p^2q)^3 = 6^3 \cdot (p^2)^3 \cdot q^3 = 216p^6q^3$.
Теперь перемножим результаты:
$(p^6q^6) \cdot (216p^6q^3)$.
Сгруппируем и перемножим:
$216 \cdot (p^6 \cdot p^6) \cdot (q^6 \cdot q^3) = 216p^{6+6}q^{6+3} = 216p^{12}q^9$.
Ответ: $216p^{12}q^9$.

е) Для упрощения выражения $(3mn)^4 \cdot (-3mn^2)^6$ возведем в степень каждый множитель. Так как показатель степени 6 во втором множителе — четное число, знак минус исчезает:
$(3mn)^4 = 3^4 \cdot m^4 \cdot n^4 = 81m^4n^4$.
$(-3mn^2)^6 = (-3)^6 \cdot m^6 \cdot (n^2)^6 = 729m^6n^{12}$.
Теперь перемножим полученные одночлены:
$(81m^4n^4) \cdot (729m^6n^{12})$.
Сгруппируем и перемножим. Коэффициент можно вычислить как $81 \cdot 729 = 3^4 \cdot 3^6 = 3^{10} = 59049$:
$(81 \cdot 729) \cdot (m^4 \cdot m^6) \cdot (n^4 \cdot n^{12}) = 59049m^{4+6}n^{4+12} = 59049m^{10}n^{16}$.
Ответ: $59049m^{10}n^{16}$.

629. С помощью калькулятора найдите значение выражения х² − у, если х = 1,4, у = 0,157.

Чтобы найти значение выражения $x^2 - y$, нужно подставить в него заданные значения переменных $x=1,4$ и $y=0,157$.

Подставляем значения в выражение:

$x^2 - y = 1,4^2 - 0,157$

Согласно порядку выполнения действий, сначала возводим число в степень:

$1,4^2 = 1,4 \cdot 1,4 = 1,96$

Теперь выполняем вычитание:

$1,96 - 0,157 = 1,803$

Ответ: $1,803$.

Многочлен (или полином) — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму нескольких одночленов.

Чтобы полностью понять это определение, разберем, что такое одночлен.

Одночлен — это выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями.
Например, выражения $5x^2$, $-7a$, $b^4$, $12$, $0.5x^2y^3z$ являются одночленами.
А выражения $x+y$, $\frac{2}{x}$, $a^3-b^3$ одночленами не являются, так как содержат операции сложения, вычитания или деления на переменную.

Таким образом, многочлен — это просто сумма таких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами.
Например, в многочлене $3x^4 - 2x^2y^2 + 5y - 8$ членами являются одночлены $3x^4$, $-2x^2y^2$, $5y$ и $-8$.

Стандартный вид многочлена
Многочлен считается записанным в стандартном виде, если выполнены два условия:
1. Каждый его член является одночленом стандартного вида (то есть числовой множитель, называемый коэффициентом, стоит на первом месте, а за ним следуют переменные в алфавитном порядке, каждая в соответствующей степени).
2. Среди членов многочлена нет подобных. Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2xy$ и $-5xy$).
Пример приведения к стандартному виду:
Возьмем многочлен $2a \cdot 3b - 5b^2a + 4ab + 7a^2$.
1. Приведем каждый член к стандартному виду: $6ab - 5ab^2 + 4ab + 7a^2$.
2. Приведем подобные члены ($6ab$ и $4ab$): $(6ab + 4ab) - 5ab^2 + 7a^2 = 10ab - 5ab^2 + 7a^2$.
3. Для удобства принято располагать члены в порядке убывания их степени: $7a^2 - 5ab^2 + 10ab$.

Степень многочлена
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных.
Например, степень многочлена $8x^5 - 3x^3y^3 + 2y^4$ равна 6, так как степени его членов равны 5, $3+3=6$ и 4. Наибольшая из них — 6.

Общий вид многочлена от одной переменной
Чаще всего рассматривают многочлены от одной переменной $x$. В стандартном виде он записывается так:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — это числовые коэффициенты, $x$ — переменная, а $n$ — наибольшая степень переменной, которая называется степенью многочлена (при условии $a_n \neq 0$).

Ответ: Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно выполнить последовательность действий: сначала привести к стандартному виду каждый член многочлена, затем сложить подобные члены и, наконец, расположить полученные члены в порядке убывания их степеней.

Рассмотрим процесс на примере многочлена $5a^2x + ax^2 - 4ax \cdot \frac{1}{2}x$.

Шаг 1: Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду.

Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента), который стоит на первом месте, и степеней различных переменных. В данном многочлене члены $5a^2x$ и $ax^2$ уже представлены в стандартном виде.

Преобразуем третий член многочлена, перемножив его числовые и буквенные части:

$-4ax \cdot \frac{1}{2}x = (-4 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a \cdot x \cdot x) = -2ax^2$

После этого преобразования исходный многочлен примет вид:

$5a^2x + ax^2 - 2ax^2$

Шаг 2: Приведение подобных членов.

Подобные члены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть. В нашем многочлене члены $ax^2$ и $-2ax^2$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $ax^2$.

Чтобы привести (сложить) подобные члены, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Коэффициент члена $ax^2$ равен $1$.

$ax^2 - 2ax^2 = (1 - 2)ax^2 = -1 \cdot ax^2 = -ax^2$

Теперь многочлен выглядит так:

$5a^2x - ax^2$

Шаг 3: Расположение членов многочлена в стандартном порядке.

Стандартный вид многочлена предполагает, что его члены расположены в порядке убывания их степеней. Степень члена — это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в него.

Определим степени оставшихся членов:

• Степень члена $5a^2x$ равна $2 + 1 = 3$.
• Степень члена $-ax^2$ равна $1 + 2 = 3$.

Так как степени обоих членов равны, их можно расположить в любом порядке. Обычно их упорядочивают по убыванию степени одной из переменных (например, $a$ или $x$).

Запись $5a^2x - ax^2$ соответствует расположению членов по убыванию степени переменной $a$ (сначала $a^2$, затем $a^1$).

Запись $-ax^2 + 5a^2x$ соответствует расположению членов по убыванию степени переменной $x$ (сначала $x^2$, затем $x^1$).

Оба варианта являются правильным стандартным видом многочлена. Выберем первый вариант.

Таким образом, многочлен $5a^2x + ax^2 - 4ax \cdot \frac{1}{2}x$ в стандартном виде записывается как $5a^2x - ax^2$.

Ответ: $5a^2x - ax^2$

Что называется степенью многочлена?

Степенью многочлена, приведенного к стандартному виду, называется наибольшая из степеней входящих в него одночленов. Чтобы найти степень многочлена, его сначала необходимо привести к стандартному виду: раскрыть все скобки и сложить подобные члены.

Степень отдельного члена многочлена (одночлена) — это сумма показателей степеней всех переменных в его составе. Например, степень одночлена $12a^3b^5$ равна $3+5=8$. Степень любого ненулевого числа (свободного члена) равна 0.

Например, рассмотрим многочлен $P(x) = 5x^4 - 2x^3 + x - 9$. Его одночлены $5x^4$, $-2x^3$, $x$ и $-9$ имеют степени 4, 3, 1 и 0 соответственно. Наибольшая из этих степеней — 4, следовательно, и степень всего многочлена равна 4.

Ответ: Степенью многочлена называют наибольшую из степеней его членов после того, как многочлен приведен к стандартному виду.

Приведите пример многочлена третьей степени.

Многочлен третьей степени — это многочлен, у которого наибольшая степень его членов равна 3. Это означает, что в его составе есть как минимум один член третьей степени, а все остальные члены имеют степень 3 или меньше.

Примером такого многочлена с одной переменной является $P(x) = 2x^3 + 4x^2 - 8x + 11$. Его члены имеют степени 3, 2, 1 и 0. Так как наибольшая степень равна 3, это многочлен третьей степени.

Пример многочлена третьей степени с двумя переменными: $Q(x,y) = x^2y + 3xy - 7$. Здесь степень члена $x^2y$ равна $2+1=3$, что является наибольшей степенью в данном многочлене.

Ответ: $7x^3 - x^2 + 5x - 1$.

Даны два многочлена: $P_1 = x^2 - 3y + 6$ и $P_2 = -x^2 + 3y + 1$.

Сумма многочленов

Чтобы найти сумму многочленов, сложим их и приведем подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

$P_1 + P_2 = (x^2 - 3y + 6) + (-x^2 + 3y + 1)$

Раскроем скобки:

$x^2 - 3y + 6 - x^2 + 3y + 1$

Сгруппируем подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (-3y + 3y) + (6 + 1)$

Выполним действия в каждой группе:

$0 + 0 + 7 = 7$

Полученный многочлен $7$ уже представлен в стандартном виде.

Ответ: $7$

Разность многочленов

Чтобы найти разность многочленов, вычтем второй многочлен из первого. При вычитании многочленов нужно раскрыть скобки, поменяв знак каждого члена второго многочлена на противоположный.

$P_1 - P_2 = (x^2 - 3y + 6) - (-x^2 + 3y + 1)$

Раскроем скобки:

$x^2 - 3y + 6 + x^2 - 3y - 1$

Сгруппируем подобные члены:

$(x^2 + x^2) + (-3y - 3y) + (6 - 1)$

Выполним действия в каждой группе:

$2x^2 - 6y + 5$

Полученный многочлен $2x^2 - 6y + 5$ является многочленом стандартного вида, так как все его члены являются одночленами стандартного вида и среди них нет подобных.

Ответ: $2x^2 - 6y + 5$

а) знак «плюс»; б) знак «минус».

а) Чтобы заключить два последних члена многочлена $5x^2 - x + 4$ в скобки, перед которыми стоит знак «плюс», нужно записать эти члены в скобках с их собственными знаками. Два последних члена — это $-x$ и $+4$.
Таким образом, мы можем переписать выражение следующим образом: $5x^2 - x + 4 = 5x^2 + (-x + 4)$.
Если мы раскроем скобки, то знаки слагаемых внутри не изменятся, и мы получим исходное выражение, что подтверждает правильность преобразования.
Ответ: $5x^2 + (-x + 4)$

б) Чтобы заключить два последних члена многочлена $5x^2 - x + 4$ в скобки, перед которыми стоит знак «минус», нужно знаки каждого из этих членов при записи в скобках изменить на противоположные.
Два последних члена — это $-x$ и $+4$.
Меняем знак у $-x$ на $+x$ (или просто $x$).
Меняем знак у $+4$ на $-4$.
Теперь записываем эти члены в скобках и ставим перед скобками знак «минус»: $5x^2 - x + 4 = 5x^2 - (x - 4)$.
Для проверки можно раскрыть скобки: $5x^2 - (x - 4) = 5x^2 - x + 4$. Выражение тождественно исходному.
Ответ: $5x^2 - (x - 4)$