Номер 2, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 8. Сумма и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 2, страница 136.

2 На примере многочлена 5а²х + ах² − 4ax • 12х объясните, как привести многочлен к стандартному виду.

Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно выполнить последовательность действий: сначала привести к стандартному виду каждый член многочлена, затем сложить подобные члены и, наконец, расположить полученные члены в порядке убывания их степеней.

Рассмотрим процесс на примере многочлена $5a^2x + ax^2 - 4ax \cdot \frac{1}{2}x$.

Шаг 1: Приведение каждого члена многочлена к стандартному виду.

Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента), который стоит на первом месте, и степеней различных переменных. В данном многочлене члены $5a^2x$ и $ax^2$ уже представлены в стандартном виде.

Преобразуем третий член многочлена, перемножив его числовые и буквенные части:

$-4ax \cdot \frac{1}{2}x = (-4 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (a \cdot x \cdot x) = -2ax^2$

После этого преобразования исходный многочлен примет вид:

$5a^2x + ax^2 - 2ax^2$

Шаг 2: Приведение подобных членов.

Подобные члены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть. В нашем многочлене члены $ax^2$ и $-2ax^2$ являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $ax^2$.

Чтобы привести (сложить) подобные члены, нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Коэффициент члена $ax^2$ равен $1$.

$ax^2 - 2ax^2 = (1 - 2)ax^2 = -1 \cdot ax^2 = -ax^2$

Теперь многочлен выглядит так:

$5a^2x - ax^2$

Шаг 3: Расположение членов многочлена в стандартном порядке.

Стандартный вид многочлена предполагает, что его члены расположены в порядке убывания их степеней. Степень члена — это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в него.

Определим степени оставшихся членов:

• Степень члена $5a^2x$ равна $2 + 1 = 3$.
• Степень члена $-ax^2$ равна $1 + 2 = 3$.

Так как степени обоих членов равны, их можно расположить в любом порядке. Обычно их упорядочивают по убыванию степени одной из переменных (например, $a$ или $x$).

Запись $5a^2x - ax^2$ соответствует расположению членов по убыванию степени переменной $a$ (сначала $a^2$, затем $a^1$).

Запись $-ax^2 + 5a^2x$ соответствует расположению членов по убыванию степени переменной $x$ (сначала $x^2$, затем $x^1$).

Оба варианта являются правильным стандартным видом многочлена. Выберем первый вариант.

Таким образом, многочлен $5a^2x + ax^2 - 4ax \cdot \frac{1}{2}x$ в стандартном виде записывается как $5a^2x - ax^2$.

Ответ: $5a^2x - ax^2$