Номер 1, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 8. Сумма и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 1, страница 136.

1 Дайте определение многочлена.

Многочлен (или полином) — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму нескольких одночленов.

Чтобы полностью понять это определение, разберем, что такое одночлен.

Одночлен — это выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями.
Например, выражения $5x^2$, $-7a$, $b^4$, $12$, $0.5x^2y^3z$ являются одночленами.
А выражения $x+y$, $\frac{2}{x}$, $a^3-b^3$ одночленами не являются, так как содержат операции сложения, вычитания или деления на переменную.

Таким образом, многочлен — это просто сумма таких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами.
Например, в многочлене $3x^4 - 2x^2y^2 + 5y - 8$ членами являются одночлены $3x^4$, $-2x^2y^2$, $5y$ и $-8$.

Стандартный вид многочлена
Многочлен считается записанным в стандартном виде, если выполнены два условия:
1. Каждый его член является одночленом стандартного вида (то есть числовой множитель, называемый коэффициентом, стоит на первом месте, а за ним следуют переменные в алфавитном порядке, каждая в соответствующей степени).
2. Среди членов многочлена нет подобных. Подобные члены — это одночлены с одинаковой буквенной частью (например, $2xy$ и $-5xy$).
Пример приведения к стандартному виду:
Возьмем многочлен $2a \cdot 3b - 5b^2a + 4ab + 7a^2$.
1. Приведем каждый член к стандартному виду: $6ab - 5ab^2 + 4ab + 7a^2$.
2. Приведем подобные члены ($6ab$ и $4ab$): $(6ab + 4ab) - 5ab^2 + 7a^2 = 10ab - 5ab^2 + 7a^2$.
3. Для удобства принято располагать члены в порядке убывания их степени: $7a^2 - 5ab^2 + 10ab$.

Степень многочлена
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных.
Например, степень многочлена $8x^5 - 3x^3y^3 + 2y^4$ равна 6, так как степени его членов равны 5, $3+3=6$ и 4. Наибольшая из них — 6.

Общий вид многочлена от одной переменной
Чаще всего рассматривают многочлены от одной переменной $x$. В стандартном виде он записывается так:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$
где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — это числовые коэффициенты, $x$ — переменная, а $n$ — наибольшая степень переменной, которая называется степенью многочлена (при условии $a_n \neq 0$).

Ответ: Многочлен — это алгебраическая сумма одночленов. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней.