Номер 632, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Умножение одночлена на многочлен. § 9. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 632, страница 138.

632. Представьте в виде многочлена:

а) Для того чтобы представить выражение в виде многочлена, необходимо умножить одночлен, стоящий перед скобкой, на каждый член многочлена в скобках, используя распределительное свойство умножения: $a(b+c) = ab+ac$.
$\frac{2}{7}x(1,4x^2 - 3,5y) = \frac{2}{7}x \cdot 1,4x^2 - \frac{2}{7}x \cdot 3,5y$.
Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ и $3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{2}{7}x \cdot \frac{7}{5}x^2 - \frac{2}{7}x \cdot \frac{7}{2}y = (\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{5}) \cdot (x \cdot x^2) - (\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}) \cdot (x \cdot y)$.
Выполним умножение коэффициентов и сложение степеней у переменных:
$\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 5}x^{1+2} - \frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 2}xy = \frac{2}{5}x^3 - 1 \cdot xy = \frac{2}{5}x^3 - xy$.
Переводя коэффициент в десятичную дробь, получаем $0,4x^3 - xy$.
Ответ: $0,4x^3 - xy$.

б) Умножим одночлен $\frac{1}{3}c^2$ на каждый член многочлена $(1,2d^2 - 6c)$.
$\frac{1}{3}c^2(1,2d^2 - 6c) = \frac{1}{3}c^2 \cdot 1,2d^2 - \frac{1}{3}c^2 \cdot 6c$.
Представим десятичную дробь $1,2$ в виде обыкновенной: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$\frac{1}{3}c^2 \cdot \frac{6}{5}d^2 - \frac{1}{3}c^2 \cdot 6c = (\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5})c^2d^2 - (\frac{1}{3} \cdot 6)c^{2+1}$.
Выполним вычисления:
$\frac{6}{15}c^2d^2 - \frac{6}{3}c^3 = \frac{2}{5}c^2d^2 - 2c^3$.
Переводя коэффициент в десятичную дробь, получаем $0,4c^2d^2 - 2c^3$.
Ответ: $0,4c^2d^2 - 2c^3$.

в) Применим распределительное свойство для умножения одночлена $\frac{1}{2}ab$ на многочлен $(\frac{2}{3}a^2 - \frac{3}{4}ab + \frac{4}{5}b^2)$.
$\frac{1}{2}ab(\frac{2}{3}a^2 - \frac{3}{4}ab + \frac{4}{5}b^2) = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{2}{3}a^2 - \frac{1}{2}ab \cdot \frac{3}{4}ab + \frac{1}{2}ab \cdot \frac{4}{5}b^2$.
Выполним умножение для каждого члена, перемножая коэффициенты и складывая степени соответствующих переменных:
$(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})a^{1+2}b - (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4})a^{1+1}b^{1+1} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5})ab^{1+2} = \frac{2}{6}a^3b - \frac{3}{8}a^2b^2 + \frac{4}{10}ab^3$.
Сократим дроби:
$\frac{1}{3}a^3b - \frac{3}{8}a^2b^2 + \frac{2}{5}ab^3$.
Ответ: $\frac{1}{3}a^3b - \frac{3}{8}a^2b^2 + \frac{2}{5}ab^3$.

г) Умножим одночлен $-\frac{2}{5}a^2y^5$ на каждый член многочлена $(5ay^2 - \frac{1}{2}a^2y - \frac{5}{6}a^3)$, обращая внимание на знаки.
$-\frac{2}{5}a^2y^5(5ay^2 - \frac{1}{2}a^2y - \frac{5}{6}a^3) = (-\frac{2}{5}a^2y^5) \cdot (5ay^2) + (-\frac{2}{5}a^2y^5) \cdot (-\frac{1}{2}a^2y) + (-\frac{2}{5}a^2y^5) \cdot (-\frac{5}{6}a^3)$.
Вычислим каждый член по отдельности:
1) $(-\frac{2}{5} \cdot 5)a^{2+1}y^{5+2} = -2a^3y^7$.
2) $(-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{1}{2})a^{2+2}y^{5+1} = \frac{2}{10}a^4y^6 = \frac{1}{5}a^4y^6$.
3) $(-\frac{2}{5}) \cdot (-\frac{5}{6})a^{2+3}y^5 = \frac{10}{30}a^5y^5 = \frac{1}{3}a^5y^5$.
Сложив полученные члены, получаем многочлен:
$-2a^3y^7 + \frac{1}{5}a^4y^6 + \frac{1}{3}a^5y^5$.
Ответ: $-2a^3y^7 + \frac{1}{5}a^4y^6 + \frac{1}{3}a^5y^5$.