Номер 631, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 9. Произведение одночлена и многочлена. 27. Умножение одночлена на многочлен - номер 631, страница 138.

Условие.

631. Преобразуйте произведение в многочлен:

Решение 1.

а) 3ab(a² - 2ab + b²) =
= 3a³b - 6a²b² + 3ab³;

б) -x²y(x²y² - x² - y²) =
= -x⁴y³ + x⁴y + x²y³;

в) 2,5a²b(4a² - 2ab + 0,2b²) =
= 10a⁴b - 5a³b² + 0,5a²b³;

г) (-2ax² + 3ax - a²) (-a²x²) =
= 2a³x⁴ - 3a³x³ + a⁴x²;

д) (6,3x³y - 3y² - 0,7x) ⋅ 10x²y² =
= 63x⁵y³ - 30x²y⁴ - 7x³y²;

е) -1,4p²q⁶(5p³q - 1,5pq² - 2q³) =
= -7p⁵q⁷ + 2,1p³q⁸ + 2,8p²q⁹.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для преобразования произведения в многочлен необходимо умножить одночлен, стоящий перед скобками (или после них), на каждый член многочлена в скобках. Это действие основано на распределительном свойстве умножения.

а) $3ab(a^2 - 2ab + b^2)$

Умножим одночлен $3ab$ на каждый член многочлена $(a^2 - 2ab + b^2)$:
$3ab \cdot a^2 = 3a^{1+2}b = 3a^3b$
$3ab \cdot (-2ab) = - (3 \cdot 2)a^{1+1}b^{1+1} = -6a^2b^2$
$3ab \cdot b^2 = 3ab^{1+2} = 3ab^3$

Сложив полученные результаты, получаем многочлен:
$3ab(a^2 - 2ab + b^2) = 3a^3b - 6a^2b^2 + 3ab^3$.

Ответ: $3a^3b - 6a^2b^2 + 3ab^3$.

б) $-x^2y(x^2y^2 - x^2 - y^2)$

Умножим одночлен $-x^2y$ на каждый член многочлена $(x^2y^2 - x^2 - y^2)$:
$-x^2y \cdot (x^2y^2) = -x^{2+2}y^{1+2} = -x^4y^3$
$-x^2y \cdot (-x^2) = +x^{2+2}y = x^4y$
$-x^2y \cdot (-y^2) = +x^2y^{1+2} = x^2y^3$

Складываем полученные одночлены:
$-x^2y(x^2y^2 - x^2 - y^2) = -x^4y^3 + x^4y + x^2y^3$.

Ответ: $-x^4y^3 + x^4y + x^2y^3$.

в) $2,5a^2b(4a^2 - 2ab + 0,2b^2)$

Умножим одночлен $2,5a^2b$ на каждый член многочлена $(4a^2 - 2ab + 0,2b^2)$:
$2,5a^2b \cdot 4a^2 = (2,5 \cdot 4)a^{2+2}b = 10a^4b$
$2,5a^2b \cdot (-2ab) = -(2,5 \cdot 2)a^{2+1}b^{1+1} = -5a^3b^2$
$2,5a^2b \cdot 0,2b^2 = (2,5 \cdot 0,2)a^2b^{1+2} = 0,5a^2b^3$

Складываем результаты:
$2,5a^2b(4a^2 - 2ab + 0,2b^2) = 10a^4b - 5a^3b^2 + 0,5a^2b^3$.

Ответ: $10a^4b - 5a^3b^2 + 0,5a^2b^3$.

г) $(-2ax^2 + 3ax - a^2)(-a^2x^2)$

Умножим каждый член многочлена $(-2ax^2 + 3ax - a^2)$ на одночлен $(-a^2x^2)$:
$-2ax^2 \cdot (-a^2x^2) = (-2 \cdot -1)a^{1+2}x^{2+2} = 2a^3x^4$
$3ax \cdot (-a^2x^2) = (3 \cdot -1)a^{1+2}x^{1+2} = -3a^3x^3$
$-a^2 \cdot (-a^2x^2) = (-1 \cdot -1)a^{2+2}x^2 = a^4x^2$

Складываем результаты:
$(-2ax^2 + 3ax - a^2)(-a^2x^2) = 2a^3x^4 - 3a^3x^3 + a^4x^2$.

Ответ: $2a^3x^4 - 3a^3x^3 + a^4x^2$.

д) $(6,3x^3y - 3y^2 - 0,7x) \cdot 10x^2y^2$

Умножим каждый член многочлена $(6,3x^3y - 3y^2 - 0,7x)$ на одночлен $10x^2y^2$:
$6,3x^3y \cdot 10x^2y^2 = (6,3 \cdot 10)x^{3+2}y^{1+2} = 63x^5y^3$
$-3y^2 \cdot 10x^2y^2 = -(3 \cdot 10)x^2y^{2+2} = -30x^2y^4$
$-0,7x \cdot 10x^2y^2 = -(0,7 \cdot 10)x^{1+2}y^2 = -7x^3y^2$

Складываем результаты и для удобства располагаем члены в порядке убывания степеней переменной $x$:
$(6,3x^3y - 3y^2 - 0,7x) \cdot 10x^2y^2 = 63x^5y^3 - 30x^2y^4 - 7x^3y^2 = 63x^5y^3 - 7x^3y^2 - 30x^2y^4$.

Ответ: $63x^5y^3 - 7x^3y^2 - 30x^2y^4$.

е) $-1,4p^2q^6(5p^3q - 1,5pq^2 - 2q^3)$

Умножим одночлен $-1,4p^2q^6$ на каждый член многочлена $(5p^3q - 1,5pq^2 - 2q^3)$:
$-1,4p^2q^6 \cdot 5p^3q = -(1,4 \cdot 5)p^{2+3}q^{6+1} = -7p^5q^7$
$-1,4p^2q^6 \cdot (-1,5pq^2) = (-1,4 \cdot -1,5)p^{2+1}q^{6+2} = 2,1p^3q^8$
$-1,4p^2q^6 \cdot (-2q^3) = (-1,4 \cdot -2)p^2q^{6+3} = 2,8p^2q^9$

Складываем результаты:
$-1,4p^2q^6(5p^3q - 1,5pq^2 - 2q^3) = -7p^5q^7 + 2,1p^3q^8 + 2,8p^2q^9$.

Ответ: $-7p^5q^7 + 2,1p^3q^8 + 2,8p^2q^9$.