Номер 633, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

633. Выполните умножение:

а) Чтобы выполнить умножение, необходимо умножить одночлен $-3x^2$ на каждый член многочлена $(-x^3 + x - 5)$, используя распределительное свойство умножения.

$-3x^2(-x^3 + x - 5) = (-3x^2) \cdot (-x^3) + (-3x^2) \cdot x + (-3x^2) \cdot (-5)$

Выполним умножение для каждого слагаемого, помня, что при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(-3x^2) \cdot (-x^3) = 3x^{2+3} = 3x^5$

$(-3x^2) \cdot x = -3x^{2+1} = -3x^3$

$(-3x^2) \cdot (-5) = 15x^2$

Соберем полученные одночлены в многочлен:

$3x^5 - 3x^3 + 15x^2$

Ответ: $3x^5 - 3x^3 + 15x^2$

б) Умножим каждый член многочлена $(1 + 2a - a^2)$ на одночлен $5a$.

$(1 + 2a - a^2) \cdot 5a = 1 \cdot 5a + 2a \cdot 5a + (-a^2) \cdot 5a$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$1 \cdot 5a = 5a$

$2a \cdot 5a = (2 \cdot 5)a^{1+1} = 10a^2$

$(-a^2) \cdot 5a = -5a^{2+1} = -5a^3$

Запишем результат в виде многочлена, расположив члены по убыванию степеней переменной $a$:

$-5a^3 + 10a^2 + 5a$

Ответ: $-5a^3 + 10a^2 + 5a$

в) Умножим одночлен $\frac{2}{3}x^2y$ на каждый член многочлена $(15x - 0,9y + 6)$.

$\frac{2}{3}x^2y(15x - 0,9y + 6) = (\frac{2}{3}x^2y) \cdot (15x) + (\frac{2}{3}x^2y) \cdot (-0,9y) + (\frac{2}{3}x^2y) \cdot 6$

Выполним умножение для каждого слагаемого. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,9$ в виде обыкновенной: $0,9 = \frac{9}{10}$.

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot (15x) = (\frac{2 \cdot 15}{3}) x^{2+1}y = \frac{30}{3}x^3y = 10x^3y$

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot (-0,9y) = (\frac{2}{3} \cdot (-\frac{9}{10})) x^2 y^{1+1} = -\frac{18}{30}x^2y^2 = -\frac{3}{5}x^2y^2 = -0,6x^2y^2$

$(\frac{2}{3}x^2y) \cdot 6 = (\frac{2 \cdot 6}{3}) x^2y = \frac{12}{3}x^2y = 4x^2y$

Сложим полученные результаты:

$10x^3y - 0,6x^2y^2 + 4x^2y$

Ответ: $10x^3y - 0,6x^2y^2 + 4x^2y$

г) Умножим одночлен $3a^4x$ на каждый член многочлена $(a^2 - 2ax + x^3 - 1)$.

$3a^4x(a^2 - 2ax + x^3 - 1) = (3a^4x) \cdot a^2 + (3a^4x) \cdot (-2ax) + (3a^4x) \cdot x^3 + (3a^4x) \cdot (-1)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(3a^4x) \cdot a^2 = 3a^{4+2}x = 3a^6x$

$(3a^4x) \cdot (-2ax) = - (3 \cdot 2) a^{4+1}x^{1+1} = -6a^5x^2$

$(3a^4x) \cdot x^3 = 3a^4x^{1+3} = 3a^4x^4$

$(3a^4x) \cdot (-1) = -3a^4x$

Сложим полученные результаты:

$3a^6x - 6a^5x^2 + 3a^4x^4 - 3a^4x$

Ответ: $3a^6x - 6a^5x^2 + 3a^4x^4 - 3a^4x$

д) Умножим каждый член многочлена $(x^2y - xy + xy^2 + y^3)$ на одночлен $3xy^2$.

$(x^2y - xy + xy^2 + y^3) \cdot 3xy^2 = (x^2y) \cdot (3xy^2) + (-xy) \cdot (3xy^2) + (xy^2) \cdot (3xy^2) + y^3 \cdot (3xy^2)$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(x^2y) \cdot (3xy^2) = 3x^{2+1}y^{1+2} = 3x^3y^3$

$(-xy) \cdot (3xy^2) = -3x^{1+1}y^{1+2} = -3x^2y^3$

$(xy^2) \cdot (3xy^2) = 3x^{1+1}y^{2+2} = 3x^2y^4$

$y^3 \cdot (3xy^2) = 3xy^{3+2} = 3xy^5$

Сложим полученные результаты:

$3x^3y^3 - 3x^2y^3 + 3x^2y^4 + 3xy^5$

Ответ: $3x^3y^3 - 3x^2y^3 + 3x^2y^4 + 3xy^5$

е) Умножим одночлен $-\frac{3}{7}a^4$ на каждый член многочлена $(2,1b^2 - 0,7a + 35)$. Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $2,1 = \frac{21}{10}$ и $0,7 = \frac{7}{10}$.

$-\frac{3}{7}a^4(2,1b^2 - 0,7a + 35) = (-\frac{3}{7}a^4) \cdot (\frac{21}{10}b^2) + (-\frac{3}{7}a^4) \cdot (-\frac{7}{10}a) + (-\frac{3}{7}a^4) \cdot 35$

Выполним умножение для каждого слагаемого:

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot (\frac{21}{10}b^2) = -\frac{3 \cdot 21}{7 \cdot 10}a^4b^2 = -\frac{3 \cdot 3}{10}a^4b^2 = -\frac{9}{10}a^4b^2 = -0,9a^4b^2$

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot (-\frac{7}{10}a) = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 10}a^{4+1} = \frac{3}{10}a^5 = 0,3a^5$

$(-\frac{3}{7}a^4) \cdot 35 = -\frac{3 \cdot 35}{7}a^4 = -(3 \cdot 5)a^4 = -15a^4$

Сложим полученные результаты. Для стандартного вида многочлена расположим слагаемые по убыванию степени переменной $a$:

$0,3a^5 - 15a^4 - 0,9a^4b^2$

Ответ: $0,3a^5 - 15a^4 - 0,9a^4b^2$