Номер 626, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Сложение и вычитание многочленов. § 8. Сумма и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 626, страница 135.

626. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма:
а) трёх последовательных натуральных чисел кратна 3;
б) четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4.
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга правильность выполнения преобразований.
3) Выскажите аналогичное предположение о сумме пяти последовательных натуральных чисел и проверьте, верно ли оно.

а)

Чтобы доказать, что сумма трёх последовательных натуральных чисел кратна 3, обозначим первое из этих чисел через $n$. Поскольку числа последовательные, следующими за ним будут $n+1$ и $n+2$.

Найдём их сумму $S_3$: $S_3 = n + (n+1) + (n+2)$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $S_3 = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $S_3 = 3(n+1)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n+1$ — также натуральное число. Полученное выражение $3(n+1)$ представляет собой произведение числа 3 и натурального числа $n+1$. Любое число, которое можно представить в виде произведения $3k$, где $k$ — целое число, кратно 3. Следовательно, сумма трёх последовательных натуральных чисел всегда кратна 3.

Ответ: утверждение доказано.

б)

Чтобы доказать, что сумма четырёх последовательных натуральных чисел не кратна 4, обозначим первое из этих чисел через $n$. Тогда следующие три числа — это $n+1$, $n+2$ и $n+3$.

Найдём их сумму $S_4$: $S_4 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3)$

Упростим выражение: $S_4 = 4n + (1+2+3) = 4n + 6$

Чтобы проверить делимость на 4, посмотрим на остаток от деления этого выражения на 4. Выражение $4n$ очевидно делится на 4 без остатка. Число 6 при делении на 4 даёт в остатке 2 ($6 = 4 \cdot 1 + 2$). Можно записать всю сумму так: $S_4 = 4n + 6 = 4(n+1) + 2$

Из этой записи видно, что при делении суммы $S_4$ на 4 всегда будет остаток 2. Поскольку остаток не равен нулю, сумма четырёх последовательных натуральных чисел никогда не кратна 4.

Ответ: утверждение доказано.

3)

По аналогии с пунктом а), можно высказать следующее предположение: сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5.

Проверим, верно ли это предположение. Обозначим первое из пяти последовательных натуральных чисел через $n$. Тогда остальные числа равны $n+1$, $n+2$, $n+3$ и $n+4$.

Найдём их сумму $S_5$: $S_5 = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$

Упростим выражение: $S_5 = 5n + (1+2+3+4) = 5n + 10$

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $S_5 = 5(n+2)$

Так как $n$ — натуральное число, $n+2$ — также натуральное число. Сумма $S_5$ представляется в виде произведения числа 5 и натурального числа $n+2$. Следовательно, эта сумма всегда кратна 5. Таким образом, наше предположение оказалось верным.

Ответ: предположение о том, что сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5, верно.