Номер 624, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

624. Представьте выражение каким−либо способом в виде разности одночлена и трёхчлена:

а) х³ + 2х² − 3х − 5; б) 3a² + 2а³ + 5а² − 4.

Задача состоит в том, чтобы представить многочлен, состоящий из четырёх членов, в виде разности одночлена и трёхчлена. Это можно сделать, выбрав один из членов исходного многочлена в качестве уменьшаемого (одночлена), а затем сгруппировав оставшиеся три члена в вычитаемое (трёхчлен), изменив их знаки на противоположные.

а) Рассмотрим выражение $x^3 + 2x^2 - 3x - 5$.

Выберем в качестве одночлена первый член $x^3$. Теперь нам нужно найти такой трёхчлен $T$, чтобы выполнялось равенство:

$x^3 + 2x^2 - 3x - 5 = x^3 - T$

Из этого равенства видно, что $-T$ должно быть равно оставшейся части исходного многочлена:

$-T = 2x^2 - 3x - 5$

Чтобы найти $T$, необходимо умножить обе части равенства на $-1$:

$T = -(2x^2 - 3x - 5) = -2x^2 + 3x + 5$

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде разности одночлена $x^3$ и трёхчлена $(-2x^2 + 3x + 5)$.

Проверка: $x^3 - (-2x^2 + 3x + 5) = x^3 + 2x^2 - 3x - 5$. Равенство верное.

Ответ: $x^3 - (-2x^2 + 3x + 5)$.

б) Рассмотрим выражение $3a^4 + 2a^3 + 5a^2 - 4$.

Применим тот же подход. Выберем в качестве одночлена первый член выражения, то есть $3a^4$. Тогда должно выполняться равенство:

$3a^4 + 2a^3 + 5a^2 - 4 = 3a^4 - T$

Из равенства следует, что $-T$ равно сумме остальных членов:

$-T = 2a^3 + 5a^2 - 4$

Найдём $T$, умножив обе части на $-1$:

$T = -(2a^3 + 5a^2 - 4) = -2a^3 - 5a^2 + 4$

Следовательно, искомое представление имеет вид разности одночлена $3a^4$ и трёхчлена $(-2a^3 - 5a^2 + 4)$.

Проверка: $3a^4 - (-2a^3 - 5a^2 + 4) = 3a^4 + 2a^3 + 5a^2 - 4$. Равенство верное.

Ответ: $3a^4 - (-2a^3 - 5a^2 + 4)$.