Номер 617, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Сложение и вычитание многочленов. § 8. Сумма и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 617, страница 134.

617. Какой двучлен нужно сложить с многочленом х² + у² − 2ху + 1, чтобы в результате получился многочлен:
а) не содержащий переменную х;
б) не содержащий переменную у?

а) не содержащий переменную x;

Исходный многочлен: $P(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 1$.

Чтобы получить многочлен, не содержащий переменную $x$, нужно сложить исходный многочлен с таким двучленом, который при сложении уничтожит все члены, содержащие $x$.

В многочлене $P(x, y)$ члены, содержащие переменную $x$, это $x^2$ и $-2xy$. Чтобы их сумма с соответствующими членами искомого двучлена равнялась нулю, эти члены двучлена должны быть им противоположны. То есть, это должны быть члены $-x^2$ и $-(-2xy) = 2xy$.

Таким образом, искомый двучлен имеет вид: $-x^2 + 2xy$.

Выполним сложение для проверки:
$(x^2 + y^2 - 2xy + 1) + (-x^2 + 2xy) = x^2 + y^2 - 2xy + 1 - x^2 + 2xy$
Приводя подобные члены, получаем:
$(x^2 - x^2) + y^2 + (-2xy + 2xy) + 1 = 0 + y^2 + 0 + 1 = y^2 + 1$.

Полученный многочлен $y^2 + 1$ не содержит переменную $x$.

Ответ: $-x^2 + 2xy$

б) не содержащий переменную y?

Аналогично, чтобы получить многочлен, не содержащий переменную $y$, нужно сложить исходный многочлен с таким двучленом, который при сложении уничтожит все члены, содержащие $y$.

В многочлене $P(x, y) = x^2 + y^2 - 2xy + 1$ члены, содержащие переменную $y$, это $y^2$ и $-2xy$. Искомый двучлен должен содержать противоположные им члены: $-y^2$ и $-(-2xy) = 2xy$.

Таким образом, искомый двучлен имеет вид: $-y^2 + 2xy$.

Выполним сложение для проверки:
$(x^2 + y^2 - 2xy + 1) + (-y^2 + 2xy) = x^2 + y^2 - 2xy + 1 - y^2 + 2xy$
Приводя подобные члены, получаем:
$x^2 + (y^2 - y^2) + (-2xy + 2xy) + 1 = x^2 + 0 + 0 + 1 = x^2 + 1$.

Полученный многочлен $x^2 + 1$ не содержит переменную $y$.

Ответ: $-y^2 + 2xy$