Номер 615, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

615. Докажите, что при любом значении х разность многочленов 0,7х⁴ + 0,2х² − 5 и −0,3х⁴ + 15х² − 8 принимает положительное значение.

Чтобы доказать утверждение, необходимо найти разность данных многочленов и показать, что она всегда положительна.

Первый многочлен: $0,7x^4 + 0,2x^2 - 5$.
Второй многочлен: $-0,3x^4 + \frac{1}{5}x^2 - 8$.

Составим их разность. Для удобства вычислений преобразуем обыкновенную дробь $\frac{1}{5}$ в десятичную: $\frac{1}{5} = 0,2$.

$(0,7x^4 + 0,2x^2 - 5) - (-0,3x^4 + 0,2x^2 - 8)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри нее изменятся на противоположные:

$0,7x^4 + 0,2x^2 - 5 + 0,3x^4 - 0,2x^2 + 8$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(0,7x^4 + 0,3x^4) + (0,2x^2 - 0,2x^2) + (-5 + 8) = 1 \cdot x^4 + 0 \cdot x^2 + 3 = x^4 + 3$

В результате упрощения мы получили выражение $x^4 + 3$. Теперь проанализируем его значение.

Выражение $x^4$ представляет собой переменную $x$ в четной степени. Любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда является неотрицательным числом, то есть $x^4 \ge 0$ при любом значении $x$.

Наименьшее значение, которое может принять $x^4$, равно 0 (это достигается при $x=0$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения $x^4 + 3$ будет равно $0 + 3 = 3$.

Поскольку наименьшее значение разности многочленов равно 3, а $3 > 0$, это означает, что при любом значении $x$ разность будет принимать положительное значение. Что и требовалось доказать.

Ответ: Разность многочленов равна $x^4 + 3$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $x^4 + 3 \ge 3$, следовательно, разность всегда принимает положительное значение.