Номер 616, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

616. (Для работы в парах.) Учащимся была предложена задача: «Найдите значение выражения

(7а³ − 6а²b + 5аb²) + (5а³ + 7а²b + 3аb²) − (10а³ + а²b + 8аЬ²) при а = −0,25».

Один из учеников сказал, что в задаче не хватает данных. Прав ли он?

1. Обсудите друг с другом, в каком случае ученик окажется прав.
2. Выполните преобразования.
3. Сделайте вывод.
4. Пункт.

1) Обсудите друг с другом, в каком случае ученик окажется прав.

Ученик, который сказал, что в задаче не хватает данных, оказался бы прав, если бы после всех преобразований и упрощений итоговое выражение содержало переменную $b$. В этом случае, не зная значения $b$, невозможно было бы вычислить точное числовое значение всего выражения. Таким образом, для вычисления значения выражения потребовались бы данные о значении переменной $b$.

Ответ: Ученик был бы прав, если бы значение выражения зависело от переменной $b$, значение которой не дано.

2) Выполните преобразования.

Чтобы проверить, зависит ли значение выражения от переменной $b$, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение:

$(7a^3 - 6a^2b + 5ab^2) + (5a^3 + 7a^2b + 3ab^2) - (10a^3 + a^2b + 8ab^2)$

Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых в ней не меняются. Перед третьей скобкой стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых в ней меняются на противоположные.

$7a^3 - 6a^2b + 5ab^2 + 5a^3 + 7a^2b + 3ab^2 - 10a^3 - a^2b - 8ab^2$

Теперь сгруппируем подобные слагаемые:

$(7a^3 + 5a^3 - 10a^3) + (-6a^2b + 7a^2b - a^2b) + (5ab^2 + 3ab^2 - 8ab^2)$

Вычислим коэффициенты при подобных членах:

$(7 + 5 - 10)a^3 + (-6 + 7 - 1)a^2b + (5 + 3 - 8)ab^2 = 2a^3 + 0 \cdot a^2b + 0 \cdot ab^2 = 2a^3$

В результате преобразований мы получили выражение $2a^3$.

Ответ: $2a^3$.

3) Сделайте вывод.

После упрощения исходное выражение приняло вид $2a^3$. Это выражение не содержит переменную $b$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $b$ и для его вычисления достаточно знать только значение $a$. Следовательно, ученик был неправ, утверждая, что данных не хватает.

Теперь найдем значение выражения при $a = -0,25$.

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $a = -0,25 = -\frac{1}{4}$.

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$2a^3 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^3 = 2 \cdot \left(-\frac{1^3}{4^3}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{64}\right) = -\frac{2}{64} = -\frac{1}{32}$

Можно также выполнить вычисления в десятичных дробях:

$2a^3 = 2 \cdot (-0,25)^3 = 2 \cdot (-0,015625) = -0,03125$

Таким образом, ученик был неправ, а значение выражения можно вычислить.

Ответ: Ученик неправ. Значение выражения равно $-\frac{1}{32}$ (или $-0,03125$).