Страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

664. В 190 г водного раствора соли добавили 10 г соли. В результате концентрация раствора повысилась на 4,5%. Сколько соли было в растворе первоначально?

Пусть $x$ — первоначальная масса соли в растворе в граммах.

Масса исходного раствора составляет 190 г.Первоначальная концентрация (массовая доля) соли в растворе $\omega_1$ вычисляется по формуле:$ \omega_1 = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} = \frac{x}{190} $

После того как в раствор добавили 10 г соли, масса соли стала $(x + 10)$ г, а общая масса раствора стала $190 + 10 = 200$ г.

Новая концентрация соли $\omega_2$ в растворе стала:$ \omega_2 = \frac{x + 10}{200} $

По условию задачи, концентрация раствора повысилась на 4,5%, что в долях составляет 0,045. Это значит, что разница между новой и первоначальной концентрациями равна 0,045.Составим уравнение:$ \omega_2 - \omega_1 = 0.045 $

Подставим выражения для концентраций в уравнение:$ \frac{x + 10}{200} - \frac{x}{190} = 0.045 $

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 200 и 190 равен 3800. Умножим обе части уравнения на 3800, чтобы избавиться от дробей:$ 3800 \cdot \left(\frac{x + 10}{200}\right) - 3800 \cdot \left(\frac{x}{190}\right) = 3800 \cdot 0.045 $

$ 19 \cdot (x + 10) - 20 \cdot x = 171 $

Раскроем скобки и решим уравнение:$ 19x + 190 - 20x = 171 $$ -x + 190 = 171 $$ -x = 171 - 190 $$ -x = -19 $$ x = 19 $

Таким образом, первоначально в растворе было 19 г соли.

Проверка:
Первоначальная концентрация: $ \omega_1 = \frac{19}{190} = 0.1 $, или 10%.
Новая концентрация: $ \omega_2 = \frac{19 + 10}{190 + 10} = \frac{29}{200} = 0.145 $, или 14,5%.
Разница концентраций: $ 14.5\% - 10\% = 4.5\% $.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 19 г.

665. В сплав олова и меди массой 16 кг добавили 2 кг олова. После этого содержание олова в сплаве повысилось на 5%. Сколько олова было в сплаве первоначально?

Обозначим первоначальную массу олова в сплаве через $x$ кг. Изначальная общая масса сплава составляет 16 кг. Следовательно, первоначальная концентрация (доля) олова в сплаве была равна $ \frac{x}{16} $.

После добавления 2 кг олова, масса олова в новом сплаве стала равной $x + 2$ кг, а общая масса нового сплава стала $16 + 2 = 18$ кг. Новая концентрация олова в сплаве, соответственно, составила $ \frac{x + 2}{18} $.

Согласно условию задачи, содержание олова в сплаве повысилось на 5%. В долях это составляет $ \frac{5}{100} = 0.05 $. Это значит, что разница между новой и первоначальной концентрациями равна 0.05. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:
$ \frac{x + 2}{18} - \frac{x}{16} = 0.05 $

Решим это уравнение. Для удобства преобразуем десятичную дробь $0.05$ в обыкновенную: $ 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20} $.
$ \frac{x + 2}{18} - \frac{x}{16} = \frac{1}{20} $
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 16 это 144.
$ \frac{8(x + 2)}{144} - \frac{9x}{144} = \frac{1}{20} $
$ \frac{8x + 16 - 9x}{144} = \frac{1}{20} $
$ \frac{16 - x}{144} = \frac{1}{20} $
Теперь воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$ 20 \cdot (16 - x) = 144 \cdot 1 $
$ 320 - 20x = 144 $
Перенесем слагаемые, чтобы найти $x$:
$ 320 - 144 = 20x $
$ 176 = 20x $
$ x = \frac{176}{20} = \frac{44}{5} = 8.8 $

Таким образом, первоначальная масса олова в сплаве составляла 8,8 кг.
Выполним проверку для подтверждения результата.
Первоначальная концентрация олова: $ \frac{8.8}{16} = 0.55 $, то есть 55%.
Новая концентрация олова: $ \frac{8.8 + 2}{18} = \frac{10.8}{18} = 0.6 $, то есть 60%.
Увеличение концентрации: $ 60\% - 55\% = 5\% $, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 8,8 кг.

666. Найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций:
а) у = 5х + 29 и у = −3х − 11;
б) у = 1,2х и у = 1,8х + 9,3.

а)

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций, нужно найти такие значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Для этого приравняем правые части уравнений функций, так как в точке пересечения значения $y$ равны.

Даны функции: $y=5x+29$ и $y=-3x-11$.

Приравниваем выражения для $y$:

$5x+29 = -3x-11$

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $x$. Переносим слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$5x+3x = -11-29$

Упрощаем обе части уравнения:

$8x = -40$

Находим $x$:

$x = \frac{-40}{8}$

$x = -5$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Теперь найдем ординату (координату $y$), подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение $y=5x+29$:

$y = 5 \cdot (-5) + 29$

$y = -25 + 29$

$y = 4$

Для проверки можно подставить значение $x=-5$ и во второе уравнение $y=-3x-11$:

$y = -3 \cdot (-5) - 11$

$y = 15 - 11$

$y = 4$

Значения $y$ совпали, следовательно, координаты точки пересечения найдены верно.

Ответ: $(-5; 4)$.

б)

Даны функции: $y=1,2x$ и $y=1,8x+9,3$.

Поступаем аналогично предыдущему пункту: приравниваем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу точки пересечения.

$1,2x = 1,8x+9,3$

Переносим слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы оставляем в другой:

$1,2x - 1,8x = 9,3$

Упрощаем левую часть:

$-0,6x = 9,3$

Находим $x$:

$x = \frac{9,3}{-0,6}$

$x = -\frac{93}{6}$

$x = -15,5$

Теперь найдем ординату $y$, подставив значение $x=-15,5$ в первое, более простое, уравнение $y=1,2x$:

$y = 1,2 \cdot (-15,5)$

$y = -18,6$

Для проверки подставим $x=-15,5$ во второе уравнение $y=1,8x+9,3$:

$y = 1,8 \cdot (-15,5) + 9,3$

$y = -27,9 + 9,3$

$y = -18,6$

Значения $y$ совпали, значит, координаты точки пересечения найдены правильно.

Ответ: $(-15,5; -18,6)$.

667. В каких координатных четвертях расположен график функции:

Для определения координатных четвертей, в которых расположен график линейной функции вида $y = kx + b$, необходимо проанализировать знаки углового коэффициента $k$ и свободного члена $b$.

• Угловой коэффициент $k$ определяет наклон прямой: если $k > 0$, функция возрастает; если $k < 0$, функция убывает.
• Свободный член $b$ определяет точку пересечения графика с осью ординат (осью OY). Точка пересечения имеет координаты $(0, b)$.
• Точку пересечения с осью абсцисс (осью OX) можно найти, приравняв $y$ к нулю: $0 = kx + b \implies x = -b/k$. Точка пересечения имеет координаты $(-b/k, 0)$.

Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки: I ($x>0, y>0$), II ($x<0, y>0$), III ($x<0, y<0$), IV ($x>0, y<0$).

а) $y = -28x$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = -28$, а свободный член $b = 0$.
Поскольку $k < 0$, функция является убывающей.
Поскольку $b = 0$, график функции проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
Убывающая прямая, проходящая через начало координат, располагается во второй и четвертой координатных четвертях.
Для $x > 0$ (IV четверть), $y = -28x < 0$.
Для $x < 0$ (II четверть), $y = -28x > 0$.
Ответ: график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

б) $y = -28x + 4$

В этом уравнении угловой коэффициент $k = -28$, а свободный член $b = 4$.
Поскольку $k < 0$, функция является убывающей.
Поскольку $b = 4 > 0$, график пересекает ось OY в точке $(0, 4)$, которая лежит на положительной полуоси.
Найдем точку пересечения с осью OX, приравняв $y$ к нулю:
$0 = -28x + 4$
$28x = 4$
$x = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$
Точка пересечения с осью OX – $(\frac{1}{7}, 0)$, она лежит на положительной полуоси.
Прямая пересекает ось OY на положительной полуоси и ось OX на положительной полуоси. Так как функция убывающая ($k<0$), ее график приходит из второй четверти, проходит через первую, а затем уходит в четвертую.
Таким образом, график функции проходит через I, II и IV координатные четверти.
Ответ: график функции расположен в I, II и IV координатных четвертях.

в) $y = 0,05x$

Здесь угловой коэффициент $k = 0,05$, а свободный член $b = 0$.
Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей.
Поскольку $b = 0$, график функции проходит через начало координат $(0, 0)$.
Возрастающая прямая, проходящая через начало координат, располагается в первой и третьей координатных четвертях.
Для $x > 0$ (I четверть), $y = 0,05x > 0$.
Для $x < 0$ (III четверть), $y = 0,05x < 0$.
Ответ: график функции расположен в I и III координатных четвертях.

г) $y = 0,05x - 2,5$

Здесь угловой коэффициент $k = 0,05$, а свободный член $b = -2,5$.
Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей.
Поскольку $b = -2,5 < 0$, график пересекает ось OY в точке $(0, -2,5)$, которая лежит на отрицательной полуоси.
Найдем точку пересечения с осью OX, приравняв $y$ к нулю:
$0 = 0,05x - 2,5$
$0,05x = 2,5$
$x = \frac{2,5}{0,05} = \frac{250}{5} = 50$
Точка пересечения с осью OX – $(50, 0)$, она лежит на положительной полуоси.
Прямая пересекает ось OY на отрицательной полуоси и ось OX на положительной полуоси. Так как функция возрастающая ($k>0$), ее график приходит из третьей четверти, проходит через четвертую, а затем уходит в первую.
Таким образом, график функции проходит через I, III и IV координатные четверти.
Ответ: график функции расположен в I, III и IV координатных четвертях.

668. Решите графически уравнение х² = 6 − х.

Для графического решения уравнения $x^2 = 6 - x$ необходимо построить в одной системе координат графики двух функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 6 - x$.

Построение графика функции $y = x^2$

Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Составим таблицу значений для построения:

Построение графика функции $y = 6 - x$

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:
- при $x=0$, $y = 6 - 0 = 6$. Точка (0, 6).
- при $y=0$, $0 = 6 - x$, откуда $x=6$. Точка (6, 0).

Нахождение решения

Построим графики функций $y = x^2$ и $y = 6 - x$ в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках, которые мы обозначим A и B. Из графика видно, что точка A имеет координаты (-3, 9), а точка B имеет координаты (2, 4).

Абсциссы этих точек и являются решениями (корнями) исходного уравнения. Следовательно, $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Для проверки подставим найденные значения в уравнение $x^2 = 6 - x$.
При $x = -3$: $(-3)^2 = 9$ и $6 - (-3) = 9$. Равенство $9 = 9$ верно.
При $x = 2$: $2^2 = 4$ и $6 - 2 = 4$. Равенство $4 = 4$ верно.

Ответ: -3; 2.

669. Упростите выражение:

a) (13a⁵y³)² · (−ay)³; б) −0,1a⁴b⁷ · (−30a²b)².

а) Чтобы упростить выражение $(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 \cdot (-ay)^3$, последовательно выполним следующие действия:
1. Возведем в степень первый множитель, используя правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^ny^nz^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{1}{9}a^{5 \cdot 2}y^{3 \cdot 2} = \frac{1}{9}a^{10}y^6$.
2. Возведем в степень второй множитель. Так как степень нечетная (3), знак минус сохранится:
$(-ay)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 \cdot y^3 = -1 \cdot a^3y^3 = -a^3y^3$.
3. Перемножим полученные выражения, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\frac{1}{9}a^{10}y^6 \cdot (-a^3y^3) = (\frac{1}{9} \cdot (-1)) \cdot (a^{10} \cdot a^3) \cdot (y^6 \cdot y^3) = -\frac{1}{9}a^{10+3}y^{6+3} = -\frac{1}{9}a^{13}y^9$.
Ответ: $-\frac{1}{9}a^{13}y^9$.

б) Чтобы упростить выражение $-0,1a^4b^7 \cdot (-30a^2b)^2$, выполним действия по порядку:
1. Сначала упростим второй множитель, возведя его в квадрат. Так как степень четная (2), знак минус исчезнет:
$(-30a^2b)^2 = (-30)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 900a^{2 \cdot 2}b^2 = 900a^4b^2$.
2. Теперь умножим первый множитель на полученный результат. Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$-0,1a^4b^7 \cdot (900a^4b^2) = (-0,1 \cdot 900) \cdot (a^4 \cdot a^4) \cdot (b^7 \cdot b^2)$.
3. Выполним умножение:
$-0,1 \cdot 900 = -90$.
$a^4 \cdot a^4 = a^{4+4} = a^8$.
$b^7 \cdot b^2 = b^{7+2} = b^9$.
Объединив все части, получаем: $-90a^8b^9$.
Ответ: $-90a^8b^9$.