Номер 667, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Умножение одночлена на многочлен. § 9. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 667, страница 142.

667. В каких координатных четвертях расположен график функции:

а) у = −28x;
б) у = −28x +4;

в) у = 0,05x;
г) у = 0,05x − 2,5?

Для определения координатных четвертей, в которых расположен график линейной функции вида $y = kx + b$, необходимо проанализировать знаки углового коэффициента $k$ и свободного члена $b$.

• Угловой коэффициент $k$ определяет наклон прямой: если $k > 0$, функция возрастает; если $k < 0$, функция убывает.
• Свободный член $b$ определяет точку пересечения графика с осью ординат (осью OY). Точка пересечения имеет координаты $(0, b)$.
• Точку пересечения с осью абсцисс (осью OX) можно найти, приравняв $y$ к нулю: $0 = kx + b \implies x = -b/k$. Точка пересечения имеет координаты $(-b/k, 0)$.

Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки: I ($x>0, y>0$), II ($x<0, y>0$), III ($x<0, y<0$), IV ($x>0, y<0$).

а) $y = -28x$

В данном уравнении угловой коэффициент $k = -28$, а свободный член $b = 0$.
Поскольку $k < 0$, функция является убывающей.
Поскольку $b = 0$, график функции проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
Убывающая прямая, проходящая через начало координат, располагается во второй и четвертой координатных четвертях.
Для $x > 0$ (IV четверть), $y = -28x < 0$.
Для $x < 0$ (II четверть), $y = -28x > 0$.
Ответ: график функции расположен во II и IV координатных четвертях.

б) $y = -28x + 4$

В этом уравнении угловой коэффициент $k = -28$, а свободный член $b = 4$.
Поскольку $k < 0$, функция является убывающей.
Поскольку $b = 4 > 0$, график пересекает ось OY в точке $(0, 4)$, которая лежит на положительной полуоси.
Найдем точку пересечения с осью OX, приравняв $y$ к нулю:
$0 = -28x + 4$
$28x = 4$
$x = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$
Точка пересечения с осью OX – $(\frac{1}{7}, 0)$, она лежит на положительной полуоси.
Прямая пересекает ось OY на положительной полуоси и ось OX на положительной полуоси. Так как функция убывающая ($k<0$), ее график приходит из второй четверти, проходит через первую, а затем уходит в четвертую.
Таким образом, график функции проходит через I, II и IV координатные четверти.
Ответ: график функции расположен в I, II и IV координатных четвертях.

в) $y = 0,05x$

Здесь угловой коэффициент $k = 0,05$, а свободный член $b = 0$.
Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей.
Поскольку $b = 0$, график функции проходит через начало координат $(0, 0)$.
Возрастающая прямая, проходящая через начало координат, располагается в первой и третьей координатных четвертях.
Для $x > 0$ (I четверть), $y = 0,05x > 0$.
Для $x < 0$ (III четверть), $y = 0,05x < 0$.
Ответ: график функции расположен в I и III координатных четвертях.

г) $y = 0,05x - 2,5$

Здесь угловой коэффициент $k = 0,05$, а свободный член $b = -2,5$.
Поскольку $k > 0$, функция является возрастающей.
Поскольку $b = -2,5 < 0$, график пересекает ось OY в точке $(0, -2,5)$, которая лежит на отрицательной полуоси.
Найдем точку пересечения с осью OX, приравняв $y$ к нулю:
$0 = 0,05x - 2,5$
$0,05x = 2,5$
$x = \frac{2,5}{0,05} = \frac{250}{5} = 50$
Точка пересечения с осью OX – $(50, 0)$, она лежит на положительной полуоси.
Прямая пересекает ось OY на отрицательной полуоси и ось OX на положительной полуоси. Так как функция возрастающая ($k>0$), ее график приходит из третьей четверти, проходит через четвертую, а затем уходит в первую.
Таким образом, график функции проходит через I, III и IV координатные четверти.
Ответ: график функции расположен в I, III и IV координатных четвертях.