Номер 669, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

669. Упростите выражение:

a) (13a⁵y³)² · (−ay)³; б) −0,1a⁴b⁷ · (−30a²b)².

а) Чтобы упростить выражение $(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 \cdot (-ay)^3$, последовательно выполним следующие действия:
1. Возведем в степень первый множитель, используя правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^ny^nz^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(\frac{1}{3}a^5y^3)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (y^3)^2 = \frac{1}{9}a^{5 \cdot 2}y^{3 \cdot 2} = \frac{1}{9}a^{10}y^6$.
2. Возведем в степень второй множитель. Так как степень нечетная (3), знак минус сохранится:
$(-ay)^3 = (-1)^3 \cdot a^3 \cdot y^3 = -1 \cdot a^3y^3 = -a^3y^3$.
3. Перемножим полученные выражения, используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\frac{1}{9}a^{10}y^6 \cdot (-a^3y^3) = (\frac{1}{9} \cdot (-1)) \cdot (a^{10} \cdot a^3) \cdot (y^6 \cdot y^3) = -\frac{1}{9}a^{10+3}y^{6+3} = -\frac{1}{9}a^{13}y^9$.
Ответ: $-\frac{1}{9}a^{13}y^9$.

б) Чтобы упростить выражение $-0,1a^4b^7 \cdot (-30a^2b)^2$, выполним действия по порядку:
1. Сначала упростим второй множитель, возведя его в квадрат. Так как степень четная (2), знак минус исчезнет:
$(-30a^2b)^2 = (-30)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 900a^{2 \cdot 2}b^2 = 900a^4b^2$.
2. Теперь умножим первый множитель на полученный результат. Сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$-0,1a^4b^7 \cdot (900a^4b^2) = (-0,1 \cdot 900) \cdot (a^4 \cdot a^4) \cdot (b^7 \cdot b^2)$.
3. Выполним умножение:
$-0,1 \cdot 900 = -90$.
$a^4 \cdot a^4 = a^{4+4} = a^8$.
$b^7 \cdot b^2 = b^{7+2} = b^9$.
Объединив все части, получаем: $-90a^8b^9$.
Ответ: $-90a^8b^9$.