Номер 665, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

665. В сплав олова и меди массой 16 кг добавили 2 кг олова. После этого содержание олова в сплаве повысилось на 5%. Сколько олова было в сплаве первоначально?

Обозначим первоначальную массу олова в сплаве через $x$ кг. Изначальная общая масса сплава составляет 16 кг. Следовательно, первоначальная концентрация (доля) олова в сплаве была равна $ \frac{x}{16} $.

После добавления 2 кг олова, масса олова в новом сплаве стала равной $x + 2$ кг, а общая масса нового сплава стала $16 + 2 = 18$ кг. Новая концентрация олова в сплаве, соответственно, составила $ \frac{x + 2}{18} $.

Согласно условию задачи, содержание олова в сплаве повысилось на 5%. В долях это составляет $ \frac{5}{100} = 0.05 $. Это значит, что разница между новой и первоначальной концентрациями равна 0.05. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:
$ \frac{x + 2}{18} - \frac{x}{16} = 0.05 $

Решим это уравнение. Для удобства преобразуем десятичную дробь $0.05$ в обыкновенную: $ 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20} $.
$ \frac{x + 2}{18} - \frac{x}{16} = \frac{1}{20} $
Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 16 это 144.
$ \frac{8(x + 2)}{144} - \frac{9x}{144} = \frac{1}{20} $
$ \frac{8x + 16 - 9x}{144} = \frac{1}{20} $
$ \frac{16 - x}{144} = \frac{1}{20} $
Теперь воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$ 20 \cdot (16 - x) = 144 \cdot 1 $
$ 320 - 20x = 144 $
Перенесем слагаемые, чтобы найти $x$:
$ 320 - 144 = 20x $
$ 176 = 20x $
$ x = \frac{176}{20} = \frac{44}{5} = 8.8 $

Таким образом, первоначальная масса олова в сплаве составляла 8,8 кг.
Выполним проверку для подтверждения результата.
Первоначальная концентрация олова: $ \frac{8.8}{16} = 0.55 $, то есть 55%.
Новая концентрация олова: $ \frac{8.8 + 2}{18} = \frac{10.8}{18} = 0.6 $, то есть 60%.
Увеличение концентрации: $ 60\% - 55\% = 5\% $, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 8,8 кг.