Номер 673, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 9. Произведение одночлена и многочлена. 28. Вынесение общего множителя за скобки - номер 673, страница 144.

Условие.

673. Разложите на множители:

Решение 1.

а) 7ax + 7bx = 7x(a + b);

б) 3by - 6b = 3b(y - 2);

в) -5mn + 5n = 5n(1 - m) =
= -5n(m - 1);

г) 3a + 9ab = 3a(1 + 3b);

д) 5y² - 15y = 5y(y - 3);

е) 3x + 6x² = 3x(1 + 2x);

ж) a² - ab = a(a - b);

з) 8mn - 4m² = 4m(2n - m);

и) -6ab + 9b² = 3b(3b - 2a) =
= -3b(2a - 3b);

к) x²y - xy² = xy(x - y);

л) ab - a²b = ab(1 - a);

м) -p²q² - pq = -pq(pq + 1).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить на множители выражение $7ax + 7bx$, необходимо найти общий множитель для обоих слагаемых. Общим множителем здесь является $7x$. Вынесем его за скобки, разделив каждый член выражения на $7x$:
$7ax + 7bx = 7x \cdot a + 7x \cdot b = 7x(a + b)$.
Ответ: $7x(a + b)$.

б) В выражении $3by - 6b$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 3 и 6, который равен 3, и общую переменную часть, которая равна $b$. Таким образом, общий множитель — это $3b$. Выносим его за скобки:
$3by - 6b = 3b \cdot y - 3b \cdot 2 = 3b(y - 2)$.
Ответ: $3b(y - 2)$.

в) Для выражения $-5mn + 5n$ общим множителем является $5n$. Вынесем $5n$ за скобки:
$-5mn + 5n = 5n \cdot (-m) + 5n \cdot 1 = 5n(-m + 1)$.
Для более стандартного вида поменяем слагаемые в скобках местами:
$5n(1 - m)$.
Ответ: $5n(1 - m)$.

г) В выражении $3a + 9ab$ НОД коэффициентов 3 и 9 равен 3, а общая переменная — $a$. Общий множитель — $3a$. Выносим его за скобки:
$3a + 9ab = 3a \cdot 1 + 3a \cdot 3b = 3a(1 + 3b)$.
Ответ: $3a(1 + 3b)$.

д) В выражении $5y^2 - 15y$ общим множителем для чисел 5 и 15 является 5, а для переменных $y^2$ и $y$ — это $y$ в наименьшей степени, то есть $y$. Общий множитель — $5y$.
$5y^2 - 15y = 5y \cdot y - 5y \cdot 3 = 5y(y - 3)$.
Ответ: $5y(y - 3)$.

е) Для выражения $3x + 6x^2$ общий множитель для коэффициентов 3 и 6 — это 3, а для переменных $x$ и $x^2$ — это $x$. Общий множитель — $3x$.
$3x + 6x^2 = 3x \cdot 1 + 3x \cdot 2x = 3x(1 + 2x)$.
Ответ: $3x(1 + 2x)$.

ж) В выражении $a^2 - ab$ общим множителем является переменная $a$ в первой степени.
$a^2 - ab = a \cdot a - a \cdot b = a(a - b)$.
Ответ: $a(a - b)$.

з) Для выражения $8mn - 4m^2$ НОД коэффициентов 8 и 4 равен 4, а общая переменная — $m$. Общий множитель — $4m$.
$8mn - 4m^2 = 4m \cdot 2n - 4m \cdot m = 4m(2n - m)$.
Ответ: $4m(2n - m)$.

и) В выражении $-6ab + 9b^2$ НОД коэффициентов -6 и 9 равен 3, а общая переменная — $b$. Общий множитель — $3b$.
$-6ab + 9b^2 = 3b \cdot (-2a) + 3b \cdot 3b = 3b(-2a + 3b)$.
Поменяв слагаемые в скобках местами, получим:
$3b(3b - 2a)$.
Ответ: $3b(3b - 2a)$.

к) В выражении $x^2y - xy^2$ общими множителями являются переменные $x$ и $y$, каждая в наименьшей (первой) степени. Общий множитель — $xy$.
$x^2y - xy^2 = xy \cdot x - xy \cdot y = xy(x - y)$.
Ответ: $xy(x - y)$.

л) В выражении $ab - a^2b$ общими множителями являются переменные $a$ и $b$. Наименьшая степень для $a$ — первая, для $b$ — первая. Общий множитель — $ab$.
$ab - a^2b = ab \cdot 1 - ab \cdot a = ab(1 - a)$.
Ответ: $ab(1 - a)$.

м) В выражении $-p^2q^2 - pq$ оба слагаемых отрицательные. Общий множитель для переменных — $pq$. Удобнее вынести за скобки $-pq$.
$-p^2q^2 - pq = -pq \cdot pq - pq \cdot 1 = -pq(pq + 1)$.
Ответ: $-pq(pq + 1)$.