Номер 680, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Вынесение общего множителя за скобки. § 9. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 680, страница 145.

680. Разложите на множители:

а) х⁵ + х⁴ + х³;
б) у⁷ − у⁵ − у²;

в) а⁴ + а⁵ − а⁸;
г) −b¹⁰ − b¹⁵ − b²⁰ .

а) Чтобы разложить на множители многочлен $x^5 + x^4 - x^3$, найдем общий множитель для всех его членов. Общим множителем является степень переменной $x$ с наименьшим показателем, то есть $x^3$. Вынесем $x^3$ за скобки:
$x^5 + x^4 - x^3 = x^3 \cdot x^{5-3} + x^3 \cdot x^{4-3} - x^3 \cdot x^{3-3} = x^3(x^2 + x^1 - x^0) = x^3(x^2 + x - 1)$.
Квадратный трехчлен $x^2 + x - 1$ не имеет целых корней, поэтому дальнейшее разложение в рамках целых чисел невозможно.
Ответ: $x^3(x^2 + x - 1)$.

б) Для многочлена $y^7 - y^5 - y^2$ общим множителем является степень переменной $y$ с наименьшим показателем, то есть $y^2$. Вынесем $y^2$ за скобки:
$y^7 - y^5 - y^2 = y^2 \cdot y^{7-2} - y^2 \cdot y^{5-2} - y^2 \cdot y^{2-2} = y^2(y^5 - y^3 - y^0) = y^2(y^5 - y^3 - 1)$.
Дальнейшее разложение выражения в скобках на простые множители затруднительно.
Ответ: $y^2(y^5 - y^3 - 1)$.

в) Для многочлена $a^4 + a^5 - a^8$ общим множителем является степень переменной $a$ с наименьшим показателем, то есть $a^4$. Вынесем $a^4$ за скобки:
$a^4 + a^5 - a^8 = a^4 \cdot a^{4-4} + a^4 \cdot a^{5-4} - a^4 \cdot a^{8-4} = a^4(a^0 + a^1 - a^4) = a^4(1 + a - a^4)$.
Для удобства можно записать члены в скобках в порядке убывания степеней: $a^4(-a^4 + a + 1)$.
Ответ: $a^4(1 + a - a^4)$.

г) Для многочлена $-b^{10} - b^{15} - b^{20}$ все члены отрицательны. Общим множителем является $-b$ в степени с наименьшим показателем, то есть $-b^{10}$. Вынесем $-b^{10}$ за скобки:
$-b^{10} - b^{15} - b^{20} = -b^{10}(1) - b^{10}(b^5) - b^{10}(b^{10}) = -b^{10}(1 + b^5 + b^{10})$.
Ответ: $-b^{10}(1 + b^5 + b^{10})$.