Номер 683, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 9. Произведение одночлена и многочлена. 28. Вынесение общего множителя за скобки - номер 683, страница 146.

Условие.

683. Представьте в виде произведения:

а) с³ − с⁴ + 2с⁵;
б) 5m⁴ + m³ + 2m²;

в) 4х⁴ + 8х³ − 2х²;
г) 5а − 5а² − 10а⁴.

Решение 1.

а) с³ − с⁴ + 2с⁵ =
= c³(1 - c + 2c²);

б) 5m⁴ + m³ + 2m² =
= m²(5m² - m + 2);

в) 4х⁴ + 8х³ − 2х² =
= 2x²(2x² + 4x - 1);

г) 5а − 5а² − 10а⁴ =
= 5a(1 - a - 2a³).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $c^3 - c^4 + 2c^5$ в виде произведения, найдем общий множитель для всех его членов. Все члены содержат переменную $c$. Наименьшая степень, в которой переменная $c$ входит в каждый член, это $c^3$. Вынесем $c^3$ за скобки.
$c^3 - c^4 + 2c^5 = c^3 \cdot 1 - c^3 \cdot c + c^3 \cdot 2c^2 = c^3(1 - c + 2c^2)$.
Для удобства запишем многочлен в скобках в стандартном виде (по убыванию степеней): $c^3(2c^2 - c + 1)$.
Ответ: $c^3(2c^2 - c + 1)$.

б) В выражении $5m^4 - m^3 + 2m^2$ общим множителем для всех членов является переменная $m$ в наименьшей степени, то есть $m^2$. Вынесем $m^2$ за скобки.
$5m^4 - m^3 + 2m^2 = m^2 \cdot 5m^2 - m^2 \cdot m + m^2 \cdot 2 = m^2(5m^2 - m + 2)$.
Ответ: $m^2(5m^2 - m + 2)$.

в) В выражении $4x^4 + 8x^3 - 2x^2$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 4, 8 и 2. НОД(4, 8, 2) = 2. Наименьшая степень переменной $x$ - это $x^2$. Таким образом, общий множитель для всех членов равен $2x^2$. Вынесем его за скобки.
$4x^4 + 8x^3 - 2x^2 = 2x^2 \cdot 2x^2 + 2x^2 \cdot 4x - 2x^2 \cdot 1 = 2x^2(2x^2 + 4x - 1)$.
Ответ: $2x^2(2x^2 + 4x - 1)$.

г) Для выражения $5a - 5a^2 - 10a^4$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов 5, -5, -10 равен 5. Наименьшая степень переменной $a$ - это $a$. Следовательно, общий множитель равен $5a$. Вынесем $5a$ за скобки.
$5a - 5a^2 - 10a^4 = 5a \cdot 1 - 5a \cdot a - 5a \cdot 2a^3 = 5a(1 - a - 2a^3)$.
Ответ: $5a(1 - a - 2a^3)$.