Страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

682. Разложите на множители многочлен:

а) Чтобы разложить многочлен $x^3 - 3x^2 + x$ на множители, нужно вынести за скобки общий множитель. В данном случае общим множителем для всех членов является $x$.
Выносим $x$ за скобки: $x \cdot (x^2) - x \cdot (3x) + x \cdot 1 = x(x^2 - 3x + 1)$.
Квадратный трёхчлен $x^2 - 3x + 1$ не разлагается на множители с целыми коэффициентами, так как его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$ не является полным квадратом.
Ответ: $x(x^2 - 3x + 1)$.

б) В многочлене $m^2 - 2m^3 - m^4$ сначала расположим его члены в порядке убывания степеней: $-m^4 - 2m^3 + m^2$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем является $m^2$. Чтобы старший коэффициент в скобках был положительным, вынесем $-m^2$:
$-m^2(\frac{-m^4}{-m^2} + \frac{-2m^3}{-m^2} + \frac{m^2}{-m^2}) = -m^2(m^2 + 2m - 1)$.
Ответ: $-m^2(m^2 + 2m - 1)$.

в) В многочлене $4a^5 - 2a^3 + a$ общим множителем для всех членов является $a$. Вынесем его за скобки:
$a \cdot (4a^4) - a \cdot (2a^2) + a \cdot 1 = a(4a^4 - 2a^2 + 1)$.
Выражение в скобках $4a^4 - 2a^2 + 1$ является биквадратным. Проверим, можно ли его разложить. Пусть $y = a^2$, тогда получим квадратный трёхчлен $4y^2 - 2y + 1$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 < 0$, значит, он не разлагается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $a(4a^4 - 2a^2 + 1)$.

г) В многочлене $6x^2 - 4x^3 + 10x^4$ сначала расположим его члены в порядке убывания степеней: $10x^4 - 4x^3 + 6x^2$.
Найдём общий множитель. Для коэффициентов 10, -4, 6 наибольший общий делитель (НОД) равен 2. Для переменных $x^4, x^3, x^2$ наименьшая степень – $x^2$. Таким образом, общий множитель – $2x^2$.
Выносим $2x^2$ за скобки: $2x^2(\frac{10x^4}{2x^2} - \frac{4x^3}{2x^2} + \frac{6x^2}{2x^2}) = 2x^2(5x^2 - 2x + 3)$.
Ответ: $2x^2(5x^2 - 2x + 3)$.

д) В многочлене $15a^3 - 9a^2 + 6a$ общим множителем является $3a$, так как НОД коэффициентов 15, -9, 6 равен 3, а наименьшая степень переменной $a$ – первая.
Выносим $3a$ за скобки: $3a(\frac{15a^3}{3a} - \frac{9a^2}{3a} + \frac{6a}{3a}) = 3a(5a^2 - 3a + 2)$.
Дискриминант квадратного трёхчлена $5a^2 - 3a + 2$ равен $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 - 40 = -31 < 0$, поэтому дальнейшее разложение невозможно.
Ответ: $3a(5a^2 - 3a + 2)$.

е) В многочлене $-3m^2 - 6m^3 + 12m^5$ сначала расположим его члены в порядке убывания степеней: $12m^5 - 6m^3 - 3m^2$.
Общий множитель для коэффициентов 12, -6, -3 – это 3. Общий множитель для переменных $m^5, m^3, m^2$ – это $m^2$. Таким образом, выносим за скобки $3m^2$.
$3m^2(\frac{12m^5}{3m^2} - \frac{6m^3}{3m^2} - \frac{3m^2}{3m^2}) = 3m^2(4m^3 - 2m - 1)$.
Ответ: $3m^2(4m^3 - 2m - 1)$.

683. Представьте в виде произведения:

а) Чтобы представить выражение $c^3 - c^4 + 2c^5$ в виде произведения, найдем общий множитель для всех его членов. Все члены содержат переменную $c$. Наименьшая степень, в которой переменная $c$ входит в каждый член, это $c^3$. Вынесем $c^3$ за скобки.
$c^3 - c^4 + 2c^5 = c^3 \cdot 1 - c^3 \cdot c + c^3 \cdot 2c^2 = c^3(1 - c + 2c^2)$.
Для удобства запишем многочлен в скобках в стандартном виде (по убыванию степеней): $c^3(2c^2 - c + 1)$.
Ответ: $c^3(2c^2 - c + 1)$.

б) В выражении $5m^4 - m^3 + 2m^2$ общим множителем для всех членов является переменная $m$ в наименьшей степени, то есть $m^2$. Вынесем $m^2$ за скобки.
$5m^4 - m^3 + 2m^2 = m^2 \cdot 5m^2 - m^2 \cdot m + m^2 \cdot 2 = m^2(5m^2 - m + 2)$.
Ответ: $m^2(5m^2 - m + 2)$.

в) В выражении $4x^4 + 8x^3 - 2x^2$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 4, 8 и 2. НОД(4, 8, 2) = 2. Наименьшая степень переменной $x$ - это $x^2$. Таким образом, общий множитель для всех членов равен $2x^2$. Вынесем его за скобки.
$4x^4 + 8x^3 - 2x^2 = 2x^2 \cdot 2x^2 + 2x^2 \cdot 4x - 2x^2 \cdot 1 = 2x^2(2x^2 + 4x - 1)$.
Ответ: $2x^2(2x^2 + 4x - 1)$.

г) Для выражения $5a - 5a^2 - 10a^4$ найдем общий множитель. НОД для коэффициентов 5, -5, -10 равен 5. Наименьшая степень переменной $a$ - это $a$. Следовательно, общий множитель равен $5a$. Вынесем $5a$ за скобки.
$5a - 5a^2 - 10a^4 = 5a \cdot 1 - 5a \cdot a - 5a \cdot 2a^3 = 5a(1 - a - 2a^3)$.
Ответ: $5a(1 - a - 2a^3)$.

684. Вынести за скобки общий множитель:

а) $3a^3 - 15a^2b + 5ab^2$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, найдем наибольший общий делитель (НОД) для каждого члена многочлена.

1. Найдем НОД для коэффициентов 3, 15 и 5. НОД(3, 15, 5) = 1.

2. Найдем общие переменные. Переменная $a$ присутствует во всех членах. Минимальная степень $a$ равна 1 ($a^1$). Переменная $b$ есть не во всех членах.

3. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $a$.

Разделим каждый член исходного выражения на $a$:
$3a^3 \div a = 3a^2$
$-15a^2b \div a = -15ab$
$5ab^2 \div a = 5b^2$

Запишем выражение, вынеся общий множитель за скобки: $a(3a^2 - 15ab + 5b^2)$.

Ответ: $a(3a^2 - 15ab + 5b^2)$

б) $20x^4 - 25x^2y^2 - 10x^3$

1. Найдем НОД для коэффициентов 20, 25 и 10. НОД(20, 25, 10) = 5.

2. Найдем общие переменные. Переменная $x$ присутствует во всех членах. Минимальная степень $x$ равна 2 ($x^2$). Переменная $y$ есть не во всех членах.

3. Общий множитель равен $5x^2$.

Разделим каждый член на $5x^2$:
$20x^4 \div (5x^2) = 4x^2$
$-25x^2y^2 \div (5x^2) = -5y^2$
$-10x^3 \div (5x^2) = -2x$

Полученное выражение: $5x^2(4x^2 - 5y^2 - 2x)$.

Ответ: $5x^2(4x^2 - 5y^2 - 2x)$

в) $-6am^2 + 9m^3 - 12m^4$

1. Найдем НОД для модулей коэффициентов 6, 9 и 12. НОД(6, 9, 12) = 3.

2. Найдем общие переменные. Переменная $m$ присутствует во всех членах. Минимальная степень $m$ равна 2 ($m^2$). Переменная $a$ есть не во всех членах.

3. Общий множитель равен $3m^2$.

Разделим каждый член на $3m^2$:
$-6am^2 \div (3m^2) = -2a$
$9m^3 \div (3m^2) = 3m$
$-12m^4 \div (3m^2) = -4m^2$

Запишем выражение в виде произведения: $3m^2(-2a + 3m - 4m^2)$.

Ответ: $3m^2(-2a + 3m - 4m^2)$

г) $12a^2b - 18ab^2 - 30ab^3$

1. Найдем НОД для коэффициентов 12, 18 и 30. НОД(12, 18, 30) = 6.

2. Найдем общие переменные. Переменная $a$ присутствует во всех членах (минимальная степень 1). Переменная $b$ также присутствует во всех членах (минимальная степень 1).

3. Общий множитель равен $6ab$.

Разделим каждый член на $6ab$:
$12a^2b \div (6ab) = 2a$
$-18ab^2 \div (6ab) = -3b$
$-30ab^3 \div (6ab) = -5b^2$

Полученное выражение: $6ab(2a - 3b - 5b^2)$.

Ответ: $6ab(2a - 3b - 5b^2)$

д) $4ax^3 + 8a^2x^2 - 12a^3x$

1. Найдем НОД для коэффициентов 4, 8 и 12. НОД(4, 8, 12) = 4.

2. Найдем общие переменные. Переменная $a$ присутствует во всех членах (минимальная степень 1). Переменная $x$ также присутствует во всех членах (минимальная степень 1).

3. Общий множитель равен $4ax$.

Разделим каждый член на $4ax$:
$4ax^3 \div (4ax) = x^2$
$8a^2x^2 \div (4ax) = 2ax$
$-12a^3x \div (4ax) = -3a^2$

Результат: $4ax(x^2 + 2ax - 3a^2)$.

Ответ: $4ax(x^2 + 2ax - 3a^2)$

е) $-3x^4y^2 - 6x^2y^2 + 9x^2y^4$

1. Найдем НОД для модулей коэффициентов 3, 6 и 9. НОД(3, 6, 9) = 3. Так как первый член отрицательный, удобно вынести за скобку -3.

2. Найдем общие переменные. Переменная $x$ присутствует во всех членах (минимальная степень 2, $x^2$). Переменная $y$ также присутствует во всех членах (минимальная степень 2, $y^2$).

3. Таким образом, общий множитель, который мы выносим, это $-3x^2y^2$.

Разделим каждый член на $-3x^2y^2$:
$-3x^4y^2 \div (-3x^2y^2) = x^2$
$-6x^2y^2 \div (-3x^2y^2) = 2$
$9x^2y^4 \div (-3x^2y^2) = -3y^2$

В результате получаем: $-3x^2y^2(x^2 + 2 - 3y^2)$.

Ответ: $-3x^2y^2(x^2 + 2 - 3y^2)$

685. Разложите на множитель многочлен:

а) Чтобы разложить многочлен $4c^4 - 6x^2c^2 + 8c$ на множители, найдем наибольший общий множитель для всех его членов. Наибольший общий делитель для коэффициентов 4, 6 и 8 равен 2. Переменная $c$ входит во все члены многочлена, её наименьшая степень равна 1. Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $2c$. Выполним вынесение общего множителя: $4c^4 - 6x^2c^2 + 8c = 2c \cdot (\frac{4c^4}{2c} - \frac{6x^2c^2}{2c} + \frac{8c}{2c}) = 2c(2c^3 - 3x^2c + 4)$. Дальнейшее разложение выражения в скобках невозможно. Ответ: $2c(2c^3 - 3x^2c + 4)$.

б) Рассмотрим многочлен $10a^2x - 15a^3 - 20a^4x$. Найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 10, 15 и 20 равен 5. Переменная $a$ входит во все члены, её наименьшая степень равна 2. Переменная $x$ входит не во все члены. Таким образом, общий множитель — это $5a^2$. Вынесем его за скобки: $10a^2x - 15a^3 - 20a^4x = 5a^2 \cdot (\frac{10a^2x}{5a^2} - \frac{15a^3}{5a^2} - \frac{20a^4x}{5a^2}) = 5a^2(2x - 3a - 4a^2x)$. Многочлен в скобках далее не раскладывается. Ответ: $5a^2(2x - 3a - 4a^2x)$.

в) В многочлене $3ax - 6ax^2 - 9a^2x$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 3, 6 и 9 равен 3. Переменная $a$ входит во все члены с наименьшей степенью 1. Переменная $x$ также входит во все члены с наименьшей степенью 1. Значит, общий множитель — это $3ax$. Вынесем его за скобки: $3ax - 6ax^2 - 9a^2x = 3ax \cdot (\frac{3ax}{3ax} - \frac{6ax^2}{3ax} - \frac{9a^2x}{3ax}) = 3ax(1 - 2x - 3a)$. Ответ: $3ax(1 - 2x - 3a)$.

г) Для многочлена $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^2$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 8, 12 и 16 равен 4. Переменная $a$ входит во все члены с наименьшей степенью 2. Переменная $b$ входит во все члены с наименьшей степенью 2. Общий множитель — $4a^2b^2$. Выполним вынесение за скобки: $8a^4b^3 - 12a^2b^4 + 16a^3b^2 = 4a^2b^2 \cdot (\frac{8a^4b^3}{4a^2b^2} - \frac{12a^2b^4}{4a^2b^2} + \frac{16a^3b^2}{4a^2b^2}) = 4a^2b^2(2a^2b - 3b^2 + 4a)$. Ответ: $4a^2b^2(2a^2b - 3b^2 + 4a)$.

686. Укажите общий множитель для всех слагаемых суммы и вынесите его за скобки:

а) $2a(x + y) + b(x + y)$

В данном выражении два слагаемых: $2a(x + y)$ и $b(x + y)$. Общим множителем для этих слагаемых является выражение $(x + y)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого в скобках останется $2a$, а от второго — $b$.

$2a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(2a + b)$

Ответ: $(x + y)(2a + b)$

б) $y(a - b) - (a - b)$

Представим выражение в виде $y(a - b) - 1 \cdot (a - b)$. Слагаемыми являются $y(a - b)$ и $-1(a - b)$. Общий множитель для них — это $(a - b)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $y$, от второго — $-1$.

$y(a - b) - (a - b) = (a - b)(y - 1)$

Ответ: $(a - b)(y - 1)$

в) $(c + 3) - x(c + 3)$

Представим выражение как $1 \cdot (c + 3) - x(c + 3)$. Здесь два слагаемых, для которых общим множителем является $(c + 3)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого останется $1$, от второго — $-x$.

$(c + 3) - x(c + 3) = (c + 3)(1 - x)$

Ответ: $(c + 3)(1 - x)$

г) $9(p - 1) + (p - 1)^2$

В выражении два слагаемых: $9(p - 1)$ и $(p - 1)^2$. Заметим, что $(p - 1)^2 = (p - 1)(p - 1)$. Значит, общий множитель — это $(p - 1)$. Вынесем его за скобки.

$9(p - 1) + (p - 1)^2 = (p - 1)(9 + (p - 1))$

Упростим выражение во второй скобке: $9 + p - 1 = p + 8$.

В результате получаем: $(p - 1)(p + 8)$.

Ответ: $(p - 1)(p + 8)$

д) $(a + 3)^2 - a(a + 3)$

Слагаемые данного выражения: $(a + 3)^2$ и $-a(a + 3)$. Так как $(a + 3)^2 = (a + 3)(a + 3)$, общим множителем является $(a + 3)$. Выносим его за скобки.

$(a + 3)^2 - a(a + 3) = (a + 3)((a + 3) - a)$

Упростим выражение во второй скобке: $a + 3 - a = 3$.

В результате получаем: $(a + 3) \cdot 3$, что принято записывать как $3(a + 3)$.

Ответ: $3(a + 3)$

е) $-3b(b - 2) + 7(b - 2)^2$

Слагаемые выражения: $-3b(b - 2)$ и $7(b - 2)^2$. Так как $(b - 2)^2 = (b - 2)(b - 2)$, общим множителем является $(b - 2)$. Выносим его за скобки.

$-3b(b - 2) + 7(b - 2)^2 = (b - 2)(-3b + 7(b - 2))$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражение во второй скобке: $-3b + 7b - 14 = 4b - 14$.

В результате получаем: $(b - 2)(4b - 14)$.

Ответ: $(b - 2)(4b - 14)$

687. Представьте выражение в виде произведения двух многочленов:

а) Чтобы представить выражение $a(b - c) + d(c - b)$ в виде произведения, заметим, что множители в скобках отличаются только знаком. Мы можем вынести $-1$ за скобки во втором слагаемом: $c - b = -(b - c)$.
Подставим это в исходное выражение:
$a(b - c) + d(-(b - c)) = a(b - c) - d(b - c)$
Теперь мы видим общий множитель $(b - c)$, который можно вынести за скобки, применив распределительный закон:
$(a - d)(b - c)$
Ответ: $(a - d)(b - c)$

б) В выражении $x(y - 5) - y(5 - y)$ также преобразуем вторую скобку: $5 - y = -(y - 5)$.
Получим:
$x(y - 5) - y(-(y - 5)) = x(y - 5) + y(y - 5)$
Вынесем общий множитель $(y - 5)$ за скобки:
$(x + y)(y - 5)$
Ответ: $(x + y)(y - 5)$

в) В выражении $3a(2x - 7) + 5b(7 - 2x)$ преобразуем скобку $(7 - 2x)$:
$7 - 2x = -(2x - 7)$
Подставим в выражение:
$3a(2x - 7) + 5b(-(2x - 7)) = 3a(2x - 7) - 5b(2x - 7)$
Вынесем общий множитель $(2x - 7)$:
$(3a - 5b)(2x - 7)$
Ответ: $(3a - 5b)(2x - 7)$

г) В выражении $(x - y)^2 - a(y - x)$ вынесем минус из скобки $(y - x)$:
$y - x = -(x - y)$
Получим:
$(x - y)^2 - a(-(x - y)) = (x - y)^2 + a(x - y)$
Теперь общий множитель — это $(x - y)$. Вынесем его за скобки:
$(x - y)((x - y) + a) = (x - y)(x - y + a)$
Ответ: $(x - y)(x - y + a)$

д) В выражении $3(a - 2)^2 - (2 - a)$ преобразуем скобку $(2 - a)$:
$2 - a = -(a - 2)$
Подставим в выражение:
$3(a - 2)^2 - (-(a - 2)) = 3(a - 2)^2 + (a - 2)$
Вынесем общий множитель $(a - 2)$ за скобки:
$(a - 2)(3(a - 2) + 1)$
Упростим выражение во второй скобке:
$3(a - 2) + 1 = 3a - 6 + 1 = 3a - 5$
Итоговое произведение:
$(a - 2)(3a - 5)$
Ответ: $(a - 2)(3a - 5)$

е) В выражении $2(3 - b) + 5(b - 3)^2$ заметим, что $(b - 3)^2 = (-(3 - b))^2 = (3 - b)^2$, так как квадрат числа и квадрат противоположного ему числа равны.
Заменим $(b - 3)^2$ на $(3 - b)^2$ в исходном выражении:
$2(3 - b) + 5(3 - b)^2$
Вынесем общий множитель $(3 - b)$ за скобки:
$(3 - b)(2 + 5(3 - b))$
Упростим выражение во второй скобке:
$2 + 5(3 - b) = 2 + 15 - 5b = 17 - 5b$
Получим произведение:
$(3 - b)(17 - 5b)$
Ответ: $(3 - b)(17 - 5b)$

688. Разложите на многочлен:

а) В выражении $8m(a - 3) + n(a - 3)$ общим множителем для обоих слагаемых является двучлен $(a - 3)$. Вынесение общего множителя за скобки — это основное свойство распределительного закона умножения. Применим его.

$8m(a - 3) + n(a - 3) = (8m + n)(a - 3)$.

Ответ: $(8m + n)(a - 3)$.

б) В выражении $(p^2 - 5) - q(p^2 - 5)$ общий множитель — это выражение в скобках $(p^2 - 5)$. Первое слагаемое можно представить как $1 \cdot (p^2 - 5)$.

$(p^2 - 5) - q(p^2 - 5) = 1 \cdot (p^2 - 5) - q(p^2 - 5)$.

Вынесем общий множитель $(p^2 - 5)$ за скобки. В скобках останутся коэффициенты при этом множителе, то есть $1$ и $-q$.

$(1 - q)(p^2 - 5)$.

Ответ: $(1 - q)(p^2 - 5)$.

в) В выражении $x(y - 9) + y(9 - y)$ на первый взгляд нет общего множителя. Однако заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(9 - y) = -(y - 9)$. Используем это тождество для преобразования второго слагаемого.

$x(y - 9) + y(9 - y) = x(y - 9) + y \cdot (-(y - 9)) = x(y - 9) - y(y - 9)$.

Теперь мы видим, что общим множителем является $(y - 9)$. Вынесем его за скобки.

$(x - y)(y - 9)$.

Ответ: $(x - y)(y - 9)$.

г) В выражении $7(c + 2) + (c + 2)^2$ общим множителем является $(c + 2)$. Второе слагаемое $(c + 2)^2$ можно представить как $(c + 2)(c + 2)$.

$7(c + 2) + (c + 2)(c + 2)$.

Вынесем общий множитель $(c + 2)$ за скобки. В скобках останется сумма того, что было умножено на $(c + 2)$ в каждом слагаемом.

$(c + 2)(7 + (c + 2))$.

Упростим выражение во второй скобке.

$(c + 2)(7 + c + 2) = (c + 2)(c + 9)$.

Ответ: $(c + 2)(c + 9)$.

д) В выражении $(a - b)^2 - 3(b - a)$ так же, как и в пункте в), выражения в скобках отличаются знаком: $(b - a) = -(a - b)$. Преобразуем второй член выражения.

$(a - b)^2 - 3(b - a) = (a - b)^2 - 3(-(a - b)) = (a - b)^2 + 3(a - b)$.

Теперь общим множителем является $(a - b)$. Вынесем его за скобки. Первое слагаемое $(a - b)^2$ равно $(a - b)(a - b)$.

$(a - b)((a - b) + 3)$.

Упростим выражение во второй скобке.

$(a - b)(a - b + 3)$.

Ответ: $(a - b)(a - b + 3)$.

е) В выражении $-(x + 2y) - 4(x + 2y)^2$ общим множителем является $(x + 2y)$. Также оба слагаемых имеют отрицательный знак. Удобно вынести за скобки $-(x + 2y)$.

$-(x + 2y) - 4(x + 2y)^2 = -(x + 2y) \cdot 1 - (x + 2y) \cdot 4(x + 2y)$.

Вынесем $-(x + 2y)$ за скобки. От первого слагаемого останется $1$, от второго $4(x + 2y)$.

$-(x + 2y)(1 + 4(x + 2y))$.

Раскроем скобки внутри второй скобки и приведем подобные.

$-(x + 2y)(1 + 4x + 8y)$.

Ответ: $-(x + 2y)(1 + 4x + 8y)$.

689. Велосипедист проехал путь АВ со скоростью 12 км/ч. Возвращаясь из В в А, он развил скорость 18 км/ч и затратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько километров между А и В?

Пусть искомое расстояние между пунктами A и B равно $S$ км.

Время, которое велосипедист затратил на путь из A в B со скоростью $12$ км/ч, вычисляется по формуле $t_1 = \frac{S}{v_1}$, то есть $t_1 = \frac{S}{12}$ часов.

Время, которое велосипедист затратил на обратный путь из B в A со скоростью $18$ км/ч, вычисляется по формуле $t_2 = \frac{S}{v_2}$, то есть $t_2 = \frac{S}{18}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на 15 минут меньше. Необходимо перевести минуты в часы, так как скорость дана в км/ч: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.

Разница во времени между поездкой из A в B и обратно составляет $\frac{1}{4}$ часа. Так как при большей скорости время в пути меньше, можно составить следующее уравнение: $t_1 - t_2 = \frac{1}{4}$

Подставим в уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$: $\frac{S}{12} - \frac{S}{18} = \frac{1}{4}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12 и 18 это 36. $\frac{3 \cdot S}{36} - \frac{2 \cdot S}{36} = \frac{1}{4}$

Выполним вычитание в левой части: $\frac{3S - 2S}{36} = \frac{1}{4}$

$\frac{S}{36} = \frac{1}{4}$

Теперь найдем $S$, умножив обе части уравнения на 36: $S = \frac{1}{4} \cdot 36$

$S = 9$

Таким образом, расстояние между A и B составляет 9 километров.

Ответ: 9 км.

690. Решите уравнение:

а) 3x − 52 + 8x − 127 = 9; б) 21 − 4x9 − 8x + 153 = 2.

а)

Дано уравнение: $ \frac{3x - 5}{2} + \frac{8x - 12}{7} = 9 $.

Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2 и 7. НОК(2, 7) = 14.

Умножим обе части уравнения на 14:

$ 14 \cdot \left( \frac{3x - 5}{2} + \frac{8x - 12}{7} \right) = 14 \cdot 9 $

Применим распределительный закон умножения:

$ \frac{14 \cdot (3x - 5)}{2} + \frac{14 \cdot (8x - 12)}{7} = 126 $

Сократим дроби:

$ 7 \cdot (3x - 5) + 2 \cdot (8x - 12) = 126 $

Теперь раскроем скобки в левой части:

$ 21x - 35 + 16x - 24 = 126 $

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$ (21x + 16x) + (-35 - 24) = 126 $

$ 37x - 59 = 126 $

Перенесем свободный член (-59) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$ 37x = 126 + 59 $

$ 37x = 185 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 37:

$ x = \frac{185}{37} $

$ x = 5 $

Ответ: $x = 5$.

б)

Дано уравнение: $ \frac{21 - 4x}{9} - \frac{8x + 15}{3} = 2 $.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 9 и 3. НОК(9, 3) = 9. Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дробей:

$ 9 \cdot \left( \frac{21 - 4x}{9} - \frac{8x + 15}{3} \right) = 9 \cdot 2 $

Применим распределительный закон:

$ \frac{9 \cdot (21 - 4x)}{9} - \frac{9 \cdot (8x + 15)}{3} = 18 $

Сократим дроби:

$ 1 \cdot (21 - 4x) - 3 \cdot (8x + 15) = 18 $

Раскроем скобки. Важно помнить, что знак минус перед второй дробью относится ко всему числителю:

$ 21 - 4x - (24x + 45) = 18 $

$ 21 - 4x - 24x - 45 = 18 $

Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:

$ (-4x - 24x) + (21 - 45) = 18 $

$ -28x - 24 = 18 $

Перенесем свободный член (-24) в правую часть, изменив знак:

$ -28x = 18 + 24 $

$ -28x = 42 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части на -28:

$ x = \frac{42}{-28} $

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 14:

$ x = -\frac{42 \div 14}{28 \div 14} = -\frac{3}{2} $

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$ x = -1.5 $

Ответ: $x = -1.5$.

691. Известно, что значение выражения a − b при некоторых значениях а и b равно 0,5. Чему равно при тех же а и b значение выражения:

а) b − а; б) 1b − a; в) (а − b)²; г) (b − а)²; д) (а − b)³; e)(b − а)³?

а) Выражение $b - a$ является противоположным выражению $a - b$. Поэтому можно записать: $b - a = -(a - b)$. Подставляя известное значение $a - b = 0,5$, получаем: $b - a = -(0,5) = -0,5$.
Ответ: -0,5

б) Для нахождения значения выражения $\frac{1}{b-a}$ воспользуемся результатом из предыдущего пункта, где $b - a = -0,5$. Подставим это значение: $\frac{1}{b-a} = \frac{1}{-0,5} = -2$.
Ответ: -2

в) Чтобы найти значение выражения $(a - b)^2$, нужно данное значение $a - b = 0,5$ возвести в квадрат: $(a - b)^2 = (0,5)^2 = 0,25$.
Ответ: 0,25

г) Чтобы найти значение выражения $(b - a)^2$, нужно значение $b - a = -0,5$ (из пункта а) возвести в квадрат: $(b - a)^2 = (-0,5)^2 = 0,25$. Можно также заметить, что квадраты противоположных чисел равны: $(b - a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.
Ответ: 0,25

д) Чтобы найти значение выражения $(a - b)^3$, нужно данное значение $a - b = 0,5$ возвести в куб: $(a - b)^3 = (0,5)^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125$.
Ответ: 0,125

е) Чтобы найти значение выражения $(b - a)^3$, нужно значение $b - a = -0,5$ (из пункта а) возвести в куб: $(b - a)^3 = (-0,5)^3 = -0,125$. Можно также заметить, что куб противоположного числа равен противоположному числу, возведенному в куб: $(b - a)^3 = (-(a-b))^3 = -(a-b)^3$.
Ответ: -0,125