Номер 684, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

684. Вынести за скобки общий множитель:

а) $3a^3 - 15a^2b + 5ab^2$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, найдем наибольший общий делитель (НОД) для каждого члена многочлена.

1. Найдем НОД для коэффициентов 3, 15 и 5. НОД(3, 15, 5) = 1.

2. Найдем общие переменные. Переменная $a$ присутствует во всех членах. Минимальная степень $a$ равна 1 ($a^1$). Переменная $b$ есть не во всех членах.

3. Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $a$.

Разделим каждый член исходного выражения на $a$:
$3a^3 \div a = 3a^2$
$-15a^2b \div a = -15ab$
$5ab^2 \div a = 5b^2$

Запишем выражение, вынеся общий множитель за скобки: $a(3a^2 - 15ab + 5b^2)$.

Ответ: $a(3a^2 - 15ab + 5b^2)$

б) $20x^4 - 25x^2y^2 - 10x^3$

1. Найдем НОД для коэффициентов 20, 25 и 10. НОД(20, 25, 10) = 5.

2. Найдем общие переменные. Переменная $x$ присутствует во всех членах. Минимальная степень $x$ равна 2 ($x^2$). Переменная $y$ есть не во всех членах.

3. Общий множитель равен $5x^2$.

Разделим каждый член на $5x^2$:
$20x^4 \div (5x^2) = 4x^2$
$-25x^2y^2 \div (5x^2) = -5y^2$
$-10x^3 \div (5x^2) = -2x$

Полученное выражение: $5x^2(4x^2 - 5y^2 - 2x)$.

Ответ: $5x^2(4x^2 - 5y^2 - 2x)$

в) $-6am^2 + 9m^3 - 12m^4$

1. Найдем НОД для модулей коэффициентов 6, 9 и 12. НОД(6, 9, 12) = 3.

2. Найдем общие переменные. Переменная $m$ присутствует во всех членах. Минимальная степень $m$ равна 2 ($m^2$). Переменная $a$ есть не во всех членах.

3. Общий множитель равен $3m^2$.

Разделим каждый член на $3m^2$:
$-6am^2 \div (3m^2) = -2a$
$9m^3 \div (3m^2) = 3m$
$-12m^4 \div (3m^2) = -4m^2$

Запишем выражение в виде произведения: $3m^2(-2a + 3m - 4m^2)$.

Ответ: $3m^2(-2a + 3m - 4m^2)$

г) $12a^2b - 18ab^2 - 30ab^3$

1. Найдем НОД для коэффициентов 12, 18 и 30. НОД(12, 18, 30) = 6.

2. Найдем общие переменные. Переменная $a$ присутствует во всех членах (минимальная степень 1). Переменная $b$ также присутствует во всех членах (минимальная степень 1).

3. Общий множитель равен $6ab$.

Разделим каждый член на $6ab$:
$12a^2b \div (6ab) = 2a$
$-18ab^2 \div (6ab) = -3b$
$-30ab^3 \div (6ab) = -5b^2$

Полученное выражение: $6ab(2a - 3b - 5b^2)$.

Ответ: $6ab(2a - 3b - 5b^2)$

д) $4ax^3 + 8a^2x^2 - 12a^3x$

1. Найдем НОД для коэффициентов 4, 8 и 12. НОД(4, 8, 12) = 4.

2. Найдем общие переменные. Переменная $a$ присутствует во всех членах (минимальная степень 1). Переменная $x$ также присутствует во всех членах (минимальная степень 1).

3. Общий множитель равен $4ax$.

Разделим каждый член на $4ax$:
$4ax^3 \div (4ax) = x^2$
$8a^2x^2 \div (4ax) = 2ax$
$-12a^3x \div (4ax) = -3a^2$

Результат: $4ax(x^2 + 2ax - 3a^2)$.

Ответ: $4ax(x^2 + 2ax - 3a^2)$

е) $-3x^4y^2 - 6x^2y^2 + 9x^2y^4$

1. Найдем НОД для модулей коэффициентов 3, 6 и 9. НОД(3, 6, 9) = 3. Так как первый член отрицательный, удобно вынести за скобку -3.

2. Найдем общие переменные. Переменная $x$ присутствует во всех членах (минимальная степень 2, $x^2$). Переменная $y$ также присутствует во всех членах (минимальная степень 2, $y^2$).

3. Таким образом, общий множитель, который мы выносим, это $-3x^2y^2$.

Разделим каждый член на $-3x^2y^2$:
$-3x^4y^2 \div (-3x^2y^2) = x^2$
$-6x^2y^2 \div (-3x^2y^2) = 2$
$9x^2y^4 \div (-3x^2y^2) = -3y^2$

В результате получаем: $-3x^2y^2(x^2 + 2 - 3y^2)$.

Ответ: $-3x^2y^2(x^2 + 2 - 3y^2)$