Номер 607, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Сложение и вычитание многочленов. § 8. Сумма и разность многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 607, страница 133.

607. Докажите, что:
а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;
б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

а) сумма двух последовательных нечётных чисел кратна 4;

Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — некоторое целое число. Возьмём два последовательных нечётных числа. Если первое число равно $2k+1$, то следующее нечётное число будет на 2 больше, то есть $(2k+1) + 2 = 2k+3$.

Найдём сумму этих двух чисел:

$(2k+1) + (2k+3) = 2k + 1 + 2k + 3 = 4k + 4$.

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4k + 4 = 4(k+1)$.

Так как $k$ — целое число, то $k+1$ также является целым числом. Полученное выражение $4(k+1)$ представляет собой произведение числа 4 на целое число, а значит, оно всегда делится на 4 без остатка. Следовательно, сумма двух последовательных нечётных чисел всегда кратна 4.

Ответ: Доказано.

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

Возьмём четыре последовательных нечётных числа. Если первое из них равно $2k+1$, то следующие три будут $2k+3$, $2k+5$ и $2k+7$, где $k$ — некоторое целое число.

Найдём сумму этих четырёх чисел:

$(2k+1) + (2k+3) + (2k+5) + (2k+7)$

Сгруппируем слагаемые:

$(2k+2k+2k+2k) + (1+3+5+7) = 8k + 16$.

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$8k + 16 = 8(k+2)$.

Так как $k$ — целое число, то $k+2$ также является целым числом. Полученное выражение $8(k+2)$ представляет собой произведение числа 8 на целое число, а значит, оно всегда делится на 8 без остатка. Следовательно, сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8.

Ответ: Доказано.