Страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

526. Верно ли равенство:

а) Чтобы проверить верность равенства $3^2 + 4^2 + 5^2 = 6^2$, вычислим значения левой и правой частей.
Левая часть: $3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$.
Правая часть: $6^2 = 36$.
Так как $50 \neq 36$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

б) Чтобы проверить верность равенства $(1 + 2 + 3 + 4)^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3$, вычислим значения левой и правой частей.
Левая часть: Сначала выполним сложение в скобках: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$. Затем возведем в квадрат: $10^2 = 100$.
Правая часть: $1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$.
Так как $100 = 100$, равенство верно.
Ответ: верно.

527. Докажите, что 26⁷ + 15⁵ − 11⁹ кратно 10.

Чтобы доказать, что выражение $26^7 + 15^5 - 11^9$ кратно 10, необходимо показать, что его последняя цифра равна 0. Последняя цифра результата арифметических операций зависит только от последних цифр операндов, поэтому найдем последнюю цифру каждого члена выражения.

Последняя цифра $26^7$

Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6. Например, $6^1=6$, $6^2=36$, $6^3=216$. Следовательно, последняя цифра числа $26^7$ — это 6.

Последняя цифра $15^5$

Любая натуральная степень (больше 0) числа, оканчивающегося на 5, также оканчивается на 5. Например, $5^1=5$, $5^2=25$. Следовательно, последняя цифра числа $15^5$ — это 5.

Последняя цифра $11^9$

Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 1, также оканчивается на 1. Например, $11^1=11$, $11^2=121$. Следовательно, последняя цифра числа $11^9$ — это 1.

Итоговое вычисление

Чтобы найти последнюю цифру всего выражения, выполним действия с последними цифрами его членов: $6 + 5 - 1 = 10$.

Последняя цифра результата равна 0. Это означает, что и число $26^7 + 15^5 - 11^9$ оканчивается на 0, а следовательно, оно кратно 10.

Ответ: Доказано.

528. Разложив число на простые множители, представьте его в виде произведения степеней простых чисел:

а) 54; б) 144; в) 225; г) 500.

а) Разложим число 54 на простые множители. Будем последовательно делить число на наименьшие простые делители.

Число 54 чётное, значит, оно делится на 2:

$54 \div 2 = 27$

Число 27 не делится на 2. Проверим делимость на 3. Сумма цифр $2+7=9$, 9 делится на 3, значит и 27 делится на 3:

$27 \div 3 = 9$

Число 9 также делится на 3:

$9 \div 3 = 3$

Число 3 - простое, делится само на себя:

$3 \div 3 = 1$

Таким образом, мы получили набор простых множителей: 2, 3, 3, 3. Запишем это в виде произведения:

$54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$

Теперь представим это в виде произведения степеней простых чисел, сгруппировав одинаковые множители:

$54 = 2 \cdot 3^3$

Ответ: $54 = 2 \cdot 3^3$.

б) Разложим число 144 на простые множители.

Число 144 чётное:

$144 \div 2 = 72$

$72 \div 2 = 36$

$36 \div 2 = 18$

$18 \div 2 = 9$

Число 9 делится на 3:

$9 \div 3 = 3$

$3 \div 3 = 1$

Простые множители числа 144: 2, 2, 2, 2, 3, 3. Запишем в виде произведения:

$144 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Представим в виде произведения степеней:

$144 = 2^4 \cdot 3^2$

Ответ: $144 = 2^4 \cdot 3^2$.

в) Разложим число 225 на простые множители.

Число 225 нечётное. Проверим делимость на 3. Сумма цифр $2+2+5=9$, 9 делится на 3, значит и 225 делится на 3:

$225 \div 3 = 75$

Сумма цифр числа 75 равна $7+5=12$, 12 делится на 3, значит и 75 делится на 3:

$75 \div 3 = 25$

Число 25 делится на 5:

$25 \div 5 = 5$

Число 5 - простое:

$5 \div 5 = 1$

Простые множители числа 225: 3, 3, 5, 5. Запишем в виде произведения:

$225 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$

Представим в виде произведения степеней:

$225 = 3^2 \cdot 5^2$

Ответ: $225 = 3^2 \cdot 5^2$.

г) Разложим число 500 на простые множители.

Число 500 чётное:

$500 \div 2 = 250$

$250 \div 2 = 125$

Число 125 не делится на 2 и на 3 (сумма цифр $1+2+5=8$). Оно оканчивается на 5, значит, делится на 5:

$125 \div 5 = 25$

Число 25 также делится на 5:

$25 \div 5 = 5$

Число 5 - простое:

$5 \div 5 = 1$

Простые множители числа 500: 2, 2, 5, 5, 5. Запишем в виде произведения:

$500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Представим в виде произведения степеней:

$500 = 2^2 \cdot 5^3$

Ответ: $500 = 2^2 \cdot 5^3$.

529. Представьте число в виде степени с основанием 2 или 3:

а) 64; б) 81; в) 512; г) 729; д) 1024.

а)

Чтобы представить число 64 в виде степени с основанием 2, нужно найти такой показатель степени $n$, что $2^n = 64$. Для этого можно последовательно делить число 64 на 2, пока в результате не получится 1, и посчитать количество выполненных делений.

$64 \div 2 = 32$

$32 \div 2 = 16$

$16 \div 2 = 8$

$8 \div 2 = 4$

$4 \div 2 = 2$

$2 \div 2 = 1$

Мы выполнили деление 6 раз. Следовательно, показатель степени равен 6.

Ответ: $64 = 2^6$.

б)

Число 81 является нечетным, поэтому его нельзя представить в виде степени с основанием 2. Проверим основание 3. Найдем показатель степени $n$, такой что $3^n = 81$. Будем последовательно делить 81 на 3.

$81 \div 3 = 27$

$27 \div 3 = 9$

$9 \div 3 = 3$

$3 \div 3 = 1$

Мы выполнили деление 4 раза. Следовательно, показатель степени равен 4.

Ответ: $81 = 3^4$.

в)

Число 512 является четным, поэтому представим его в виде степени с основанием 2. Найдем показатель степени $n$, такой что $2^n = 512$. Будем последовательно делить 512 на 2.

$512 \div 2 = 256$

$256 \div 2 = 128$

$128 \div 2 = 64$

$64 \div 2 = 32$

$32 \div 2 = 16$

$16 \div 2 = 8$

$8 \div 2 = 4$

$4 \div 2 = 2$

$2 \div 2 = 1$

Мы выполнили деление 9 раз. Следовательно, показатель степени равен 9.

Ответ: $512 = 2^9$.

г)

Число 729 является нечетным. Сумма его цифр ($7+2+9=18$) делится на 3, значит, и само число делится на 3. Представим его в виде степени с основанием 3. Найдем показатель степени $n$, такой что $3^n = 729$. Будем последовательно делить 729 на 3.

$729 \div 3 = 243$

$243 \div 3 = 81$

$81 \div 3 = 27$

$27 \div 3 = 9$

$9 \div 3 = 3$

$3 \div 3 = 1$

Мы выполнили деление 6 раз. Следовательно, показатель степени равен 6.

Ответ: $729 = 3^6$.

д)

Число 1024 является четным, поэтому представим его в виде степени с основанием 2. Найдем показатель степени $n$, такой что $2^n = 1024$. Будем последовательно делить 1024 на 2.

$1024 \div 2 = 512$

$512 \div 2 = 256$

$256 \div 2 = 128$

$128 \div 2 = 64$

$64 \div 2 = 32$

$32 \div 2 = 16$

$16 \div 2 = 8$

$8 \div 2 = 4$

$4 \div 2 = 2$

$2 \div 2 = 1$

Мы выполнили деление 10 раз. Следовательно, показатель степени равен 10.

Ответ: $1024 = 2^{10}$.

530. Представьте число в виде суммы степеней числа 2:

а) 6; б) 18; в) 42.

а) Чтобы представить число в виде суммы степеней числа 2, нужно найти наибольшую степень двойки, которая не превосходит данное число, вычесть ее, а затем повторить этот процесс с остатком, пока он не станет равен нулю. Этот процесс эквивалентен переводу числа в двоичную систему счисления.

Для числа 6:

1. Находим наибольшую степень числа 2, которая меньше или равна 6. Это $2^2 = 4$.
2. Вычитаем ее из нашего числа: $6 - 4 = 2$.
3. Теперь работаем с остатком 2. Наибольшая степень двойки, равная 2, это $2^1 = 2$.
4. Вычитаем ее: $2 - 2 = 0$. Процесс завершен.
5. Складываем полученные степени двойки: $6 = 4 + 2$.
Таким образом, число 6 в виде суммы степеней двойки равно $2^2 + 2^1$.
Ответ: $6 = 2^2 + 2^1$

б) Для числа 18:

1. Наибольшая степень числа 2, которая меньше или равна 18, это $2^4 = 16$.
2. Вычитаем: $18 - 16 = 2$.
3. Для остатка 2 наибольшая подходящая степень двойки — это $2^1 = 2$.
4. Вычитаем: $2 - 2 = 0$. Процесс завершен.
5. Складываем полученные степени: $18 = 16 + 2$.
В виде суммы степеней двойки это записывается как $2^4 + 2^1$.
Ответ: $18 = 2^4 + 2^1$

в) Для числа 42:

1. Наибольшая степень числа 2, которая меньше или равна 42, это $2^5 = 32$.
2. Вычитаем: $42 - 32 = 10$.
3. Для остатка 10 наибольшая подходящая степень двойки — это $2^3 = 8$.
4. Находим новый остаток: $10 - 8 = 2$.
5. Для остатка 2 наибольшая подходящая степень двойки — это $2^1 = 2$.
6. Вычитаем: $2 - 2 = 0$. Процесс завершен.
7. Складываем все полученные степени: $42 = 32 + 8 + 2$.
Таким образом, искомое представление: $2^5 + 2^3 + 2^1$.
Ответ: $42 = 2^5 + 2^3 + 2^1$

531. Представьте число в виде степени с показателем, отличным от 1:

а) 121; б) −32; в) 0,125; г) 625; д) −0,216; е) 0,343.

а) Чтобы представить число 121 в виде степени с показателем, отличным от 1, необходимо найти число, которое при возведении в определенную степень даст 121. Мы знаем, что 121 является квадратом числа 11, так как $11 \cdot 11 = 121$. Таким образом, мы можем записать: $121 = 11^2$. Показатель степени равен 2, что удовлетворяет условию задачи (отличен от 1).
Ответ: $11^2$.

б) Чтобы представить число -32 в виде степени, нужно учесть, что результат отрицательный. Это возможно, если основание степени отрицательно, а показатель степени — нечетное число. Проверим степени числа 2: $2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32$. Мы видим, что $2^5=32$. Так как нам нужно получить -32, возьмем основание -2 и нечетный показатель 5: $(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$. Показатель степени равен 5, что отлично от 1.
Ответ: $(-2)^5$.

в) Для представления десятичной дроби 0,125 в виде степени удобно сначала перевести ее в обыкновенную дробь: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Теперь представим знаменатель 8 в виде степени. Мы знаем, что $8 = 2^3$. Тогда: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$. Переведем основание $\frac{1}{2}$ обратно в десятичную дробь: $\frac{1}{2} = 0,5$. Следовательно, $0,125 = 0,5^3$. Показатель степени равен 3, что отлично от 1.
Ответ: $0,5^3$.

г) Чтобы представить число 625 в виде степени, можно заметить, что оно оканчивается на 5, и проверить степени числа 5: $5^2 = 25$, $5^3 = 125$, $5^4 = 625$. Таким образом, $625 = 5^4$. Показатель степени 4 отличен от 1. Также можно заметить, что 625 — это квадрат числа 25: $25^2 = 625$. Показатель 2 также отличен от 1. Оба ответа являются верными.
Ответ: $5^4$ (или $25^2$).

д) Для представления отрицательной десятичной дроби -0,216 в виде степени, переведем ее в обыкновенную дробь: $-0,216 = -\frac{216}{1000}$. Так как результат отрицательный, ищем нечетный показатель. Заметим, что $1000 = 10^3$. Проверим, является ли 216 кубом какого-либо числа. $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$. Тогда: $-\frac{216}{1000} = -\frac{6^3}{10^3} = -(\frac{6}{10})^3$. Поскольку показатель 3 нечетный, минус можно внести в основание: $-(\frac{6}{10})^3 = (-\frac{6}{10})^3$. Переведем основание в десятичную дробь: $-\frac{6}{10} = -0,6$. Следовательно, $-0,216 = (-0,6)^3$. Показатель степени равен 3, что отлично от 1.
Ответ: $(-0,6)^3$.

е) Чтобы представить число 0,343 в виде степени, переведем его в обыкновенную дробь: $0,343 = \frac{343}{1000}$. Знаменатель $1000 = 10^3$, что наводит на мысль о показателе 3. Проверим, является ли числитель 343 кубом целого числа. Пробуем небольшие числа: $5^3=125, 6^3=216, 7^3=343$. Действительно, $343 = 7^3$. Следовательно: $\frac{343}{1000} = \frac{7^3}{10^3} = (\frac{7}{10})^3$. Переводя основание в десятичную дробь, получаем: $\frac{7}{10} = 0,7$. Таким образом, $0,343 = 0,7^3$. Показатель степени равен 3, что отлично от 1.
Ответ: $0,7^3$.

532. Найдите значение выражения:

а) Подставим значение $x = -2$ в выражение $0,001x^2$:

$0,001 \cdot (-2)^2 = 0,001 \cdot 4 = 0,004$

Ответ: 0,004

б) Подставим значение $y = 0,1$ в выражение $1000y^3$:

$1000 \cdot (0,1)^3 = 1000 \cdot 0,001 = 1$

Ответ: 1

в) Подставим значения $x = 5$ и $y = 2$ в выражение $x^2y^4$:

$5^2 \cdot 2^4 = 25 \cdot 16 = 400$

Ответ: 400

г) Подставим значения $x = -2$ и $y = -5$ в выражение $3x^3y^3$. Для удобства вычислений можно сгруппировать множители с одинаковой степенью:

$3x^3y^3 = 3 \cdot (xy)^3$

Теперь подставим значения $x$ и $y$:

$3 \cdot ((-2) \cdot (-5))^3 = 3 \cdot (10)^3 = 3 \cdot 1000 = 3000$

Ответ: 3000

533. Найдите значение выражения (−1)ⁿ при n, равном:

а) 6; б) 11; в) 23; г) 70.

Для нахождения значения выражения $(-1)^n$ необходимо проанализировать показатель степени $n$. Значение выражения зависит от четности или нечетности числа $n$.

• Если $n$ — четное число (т.е. делится на 2 без остатка), то $(-1)^n = 1$.
• Если $n$ — нечетное число (т.е. не делится на 2 без остатка), то $(-1)^n = -1$.

а) Найдем значение выражения при $n=6$.

Поскольку 6 — это четное число ($6 \div 2 = 3$), то значение выражения будет равно 1.

$(-1)^6 = 1$

Ответ: 1

б) Найдем значение выражения при $n=11$.

Поскольку 11 — это нечетное число, то значение выражения будет равно -1.

$(-1)^{11} = -1$

Ответ: -1

в) Найдем значение выражения при $n=23$.

Поскольку 23 — это нечетное число, то значение выражения будет равно -1.

$(-1)^{23} = -1$

Ответ: -1

г) Найдем значение выражения при $n=70$.

Поскольку 70 — это четное число ($70 \div 2 = 35$), то значение выражения будет равно 1.

$(-1)^{70} = 1$

Ответ: 1

534. Вычислите:

а) сумму кубов чисел 5 и −3;

б) куб суммы чисел 9 и −11;

в) разность квадратов чисел 12 и 8;

г) квадрат разности чисел 96 и −4;

д) удвоенное произведение квадратов чисел 7 и −5;

е) утроенное произведение числа 15 и квадрата числа 4.

а) сумму кубов чисел 5 и –3;
Чтобы найти сумму кубов чисел, нужно каждое число возвести в третью степень (в куб), а затем сложить полученные результаты.
1. Находим куб числа 5: $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
2. Находим куб числа –3: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$.
3. Складываем полученные значения: $125 + (-27) = 125 - 27 = 98$.
Математическая запись выражения: $5^3 + (-3)^3 = 125 - 27 = 98$.
Ответ: 98.

б) куб суммы чисел 9 и –11;
Чтобы найти куб суммы чисел, нужно сначала найти их сумму, а затем возвести полученный результат в третью степень.
1. Находим сумму чисел 9 и –11: $9 + (-11) = 9 - 11 = -2$.
2. Возводим результат в куб: $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Математическая запись выражения: $(9 + (-11))^3 = (-2)^3 = -8$.
Ответ: -8.

в) разность квадратов чисел 12 и 8;
Чтобы найти разность квадратов, нужно каждое число возвести во вторую степень (в квадрат), а затем из квадрата первого числа вычесть квадрат второго.
1. Находим квадрат числа 12: $12^2 = 144$.
2. Находим квадрат числа 8: $8^2 = 64$.
3. Находим разность квадратов: $144 - 64 = 80$.
Также можно применить формулу сокращенного умножения "разность квадратов" $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$12^2 - 8^2 = (12-8)(12+8) = 4 \cdot 20 = 80$.
Ответ: 80.

г) квадрат разности чисел 96 и –4;
Чтобы найти квадрат разности, нужно сначала найти разность данных чисел, а затем возвести результат во вторую степень.
1. Находим разность чисел 96 и –4: $96 - (-4) = 96 + 4 = 100$.
2. Возводим результат в квадрат: $100^2 = 10000$.
Математическая запись выражения: $(96 - (-4))^2 = 100^2 = 10000$.
Ответ: 10000.

д) удвоенное произведение квадратов чисел 7 и –5;
Это означает, что нужно найти произведение квадратов этих чисел и умножить его на 2.
1. Находим квадрат числа 7: $7^2 = 49$.
2. Находим квадрат числа –5: $(-5)^2 = 25$.
3. Находим произведение квадратов: $49 \cdot 25 = 1225$.
4. Удваиваем полученный результат: $2 \cdot 1225 = 2450$.
Математическая запись выражения: $2 \cdot (7^2 \cdot (-5)^2) = 2 \cdot (49 \cdot 25) = 2 \cdot 1225 = 2450$.
Ответ: 2450.

е) утроенное произведение числа 15 и квадрата числа 4.
Это означает, что нужно найти произведение числа 15 и квадрата числа 4, а затем умножить результат на 3.
1. Находим квадрат числа 4: $4^2 = 16$.
2. Находим произведение числа 15 и результата из шага 1: $15 \cdot 16 = 240$.
3. Утраиваем полученный результат: $3 \cdot 240 = 720$.
Математическая запись выражения: $3 \cdot (15 \cdot 4^2) = 3 \cdot (15 \cdot 16) = 3 \cdot 240 = 720$.
Ответ: 720.

535. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) Сравним $ (-0,03)^8 $ и $0$.

Любое число, отличное от нуля, возведенное в четную степень, является положительным. Основание степени $(-0,03)$ — отрицательное число, а показатель степени $8$ — четное число. Следовательно, результат выражения $ (-0,03)^8 $ будет положительным числом.

Любое положительное число больше нуля. Таким образом, $ (-0,03)^8 > 0 $.

Ответ: $ (-0,03)^8 > 0 $.

б) Сравним $0$ и $ (-1,25)^7 $.

Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, является отрицательным. Основание степени $(-1,25)$ — отрицательное число, а показатель степени $7$ — нечетное число. Следовательно, результат выражения $ (-1,25)^7 $ будет отрицательным числом.

Ноль больше любого отрицательного числа. Таким образом, $ 0 > (-1,25)^7 $.

Ответ: $ 0 > (-1,25)^7 $.

в) Сравним $ (-1,75)^8 $ и $ (-0,29)^2 $.

Рассмотрим оба выражения. Оба являются отрицательными числами, возведенными в четную степень. Это означает, что оба результата будут положительными числами.

$ (-1,75)^8 = (1,75)^8 $

$ (-0,29)^2 = (0,29)^2 $

Теперь сравним $ (1,75)^8 $ и $ (0,29)^2 $.

Основание первого числа $ 1,75 > 1 $. При возведении числа, большего единицы, в положительную степень, результат становится еще больше. Значит, $ (1,75)^8 > 1,75 > 1 $.

Основание второго числа $0,29$ находится в интервале $ 0 < 0,29 < 1 $. При возведении такого числа в положительную степень, результат становится меньше. Значит, $ (0,29)^2 < 0,29 < 1 $.

Так как $ (1,75)^8 > 1 $, а $ (0,29)^2 < 1 $, то очевидно, что $ (1,75)^8 > (0,29)^2 $. Следовательно, и исходные выражения находятся в том же соотношении.

Ответ: $ (-1,75)^8 > (-0,29)^2 $.

г) Сравним $ 0,98^6 $ и $ 1,02^6 $.

В данном случае мы сравниваем два положительных числа, возведенных в одну и ту же положительную степень $6$.

Функция $ y = x^n $ (где $n > 0$) является возрастающей для положительных значений $x$. Это означает, что для $ a > b > 0 $ будет верным неравенство $ a^n > b^n $.

Сравним основания: $ 1,02 > 0,98 $.

Так как основания положительны и $ 1,02 > 0,98 $, то и $ 1,02^6 > 0,98^6 $.

Другой способ рассуждения: число $0,98$ меньше единицы, поэтому при возведении в степень оно станет еще меньше: $ 0,98^6 < 1 $. Число $1,02$ больше единицы, поэтому при возведении в степень оно станет еще больше: $ 1,02^6 > 1 $. Сравнивая число, меньшее 1, и число, большее 1, получаем $ 0,98^6 < 1,02^6 $.

Ответ: $ 0,98^6 < 1,02^6 $.

536. Что больше и на сколько:

а) Чтобы определить, какое из чисел $2^8$ или $3^2$ больше и на сколько, вычислим их значения.

Сначала вычислим значение первого числа:

$2^8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 256$.

Затем вычислим значение второго числа:

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.

Теперь сравним полученные результаты: $256 > 9$.

Чтобы найти, на сколько $2^8$ больше, чем $3^2$, вычтем из большего числа меньшее:

$256 - 9 = 247$.

Ответ: число $2^8$ больше числа $3^2$ на 247.

б) Сравним числа $5^2$ и $2^5$ и найдем разницу между ними.

Вычислим значение $5^2$:

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Вычислим значение $2^5$:

$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Сравниваем полученные значения: $32 > 25$.

Найдем, на сколько второе число больше первого:

$32 - 25 = 7$.

Ответ: число $2^5$ больше числа $5^2$ на 7.

в) Сравним значения выражений $2 \cdot 3^2$ и $3 \cdot 2^3$.

Вычислим значение первого выражения, помня, что возведение в степень выполняется в первую очередь:

$2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Вычислим значение второго выражения:

$3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.

Сравниваем результаты: $24 > 18$.

Найдем разницу между значениями выражений:

$24 - 18 = 6$.

Ответ: выражение $3 \cdot 2^3$ больше выражения $2 \cdot 3^2$ на 6.

г) Сравним значения выражений $(11 + 19)^2$ и $11^2 + 19^2$.

Вычислим значение первого выражения. Сначала выполним действие в скобках:

$(11 + 19)^2 = 30^2 = 900$.

Вычислим значение второго выражения. Сначала выполним возведение в степень, а затем сложение:

$11^2 + 19^2 = 121 + 361 = 482$.

Сравниваем полученные результаты: $900 > 482$.

Найдем, на сколько первое выражение больше второго:

$900 - 482 = 418$.

Заметим, что это пример на формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. Отличие $(a+b)^2$ от $a^2+b^2$ составляет $2ab$. В нашем случае это $2 \cdot 11 \cdot 19 = 22 \cdot 19 = 418$.

Ответ: выражение $(11 + 19)^2$ больше выражения $11^2 + 19^2$ на 418.

537. Сравните значения выражений а² и а³ при а, равном:

а) −12; б) 0; в) 5.

Чтобы сравнить значения выражений при $a = -12$, подставим это значение в каждое выражение.

Сначала вычислим значение $a^2$:
$a^2 = (-12)^2 = (-12) \cdot (-12) = 144$.
Возведение отрицательного числа в четную степень дает положительный результат.

Теперь вычислим значение $a^3$:
$a^3 = (-12)^3 = (-12) \cdot (-12) \cdot (-12) = 144 \cdot (-12) = -1728$.
Возведение отрицательного числа в нечетную степень дает отрицательный результат.

Сравним полученные значения: $144$ и $-1728$.
Так как любое положительное число больше любого отрицательного числа, то $144 > -1728$.
Следовательно, $a^2 > a^3$ при $a = -12$.
Ответ: $a^2 > a^3$.

Чтобы сравнить значения выражений при $a = 0$, подставим это значение в каждое выражение.

Вычислим значение $a^2$:
$a^2 = 0^2 = 0 \cdot 0 = 0$.

Вычислим значение $a^3$:
$a^3 = 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.

Сравним полученные значения: $0 = 0$.
Следовательно, $a^2 = a^3$ при $a = 0$.
Ответ: $a^2 = a^3$.

Чтобы сравнить значения выражений при $a = 5$, подставим это значение в каждое выражение.

Вычислим значение $a^2$:
$a^2 = 5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Вычислим значение $a^3$:
$a^3 = 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$.

Сравним полученные значения: $25$ и $125$.
Так как $25 < 125$, то $a^2 < a^3$ при $a = 5$.
Ответ: $a^2 < a^3$.

538. Найдите при х = 1,5 и х = −2 значения выражений:

а) х², −х², (−х)²; б) х³, −х³, (−х)³.

а) Вычислим значения выражений $x^2$, $-x^2$ и $(-x)^2$ для каждого значения $x$.

При $x = 1,5$:
$x^2 = (1,5)^2 = 1,5 \cdot 1,5 = 2,25$
$-x^2 = -(1,5)^2 = -2,25$ (Сначала возводим в квадрат, потом применяем знак минуса)
$(-x)^2 = (-1,5)^2 = 2,25$ (Отрицательное число в четной степени становится положительным)

При $x = -2$:
$x^2 = (-2)^2 = 4$
$-x^2 = -(-2)^2 = -(4) = -4$
$(-x)^2 = (-(-2))^2 = 2^2 = 4$

Ответ: при $x=1,5$ значения равны $2,25$; $-2,25$; $2,25$. При $x=-2$ значения равны $4$; $-4$; $4$.

б) Вычислим значения выражений $x^3$, $-x^3$ и $(-x)^3$ для каждого значения $x$.

При $x = 1,5$:
$x^3 = (1,5)^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 1,5 = 3,375$
$-x^3 = -(1,5)^3 = -3,375$
$(-x)^3 = (-1,5)^3 = -3,375$ (Отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным)

При $x = -2$:
$x^3 = (-2)^3 = -8$
$-x^3 = -(-2)^3 = -(-8) = 8$
$(-x)^3 = (-(-2))^3 = 2^3 = 8$

Ответ: при $x=1,5$ значения равны $3,375$; $-3,375$; $-3,375$. При $x=-2$ значения равны $-8$; $8$; $8$.