Номер 531, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

531. Представьте число в виде степени с показателем, отличным от 1:

а) 121; б) −32; в) 0,125; г) 625; д) −0,216; е) 0,343.

а) Чтобы представить число 121 в виде степени с показателем, отличным от 1, необходимо найти число, которое при возведении в определенную степень даст 121. Мы знаем, что 121 является квадратом числа 11, так как $11 \cdot 11 = 121$. Таким образом, мы можем записать: $121 = 11^2$. Показатель степени равен 2, что удовлетворяет условию задачи (отличен от 1).
Ответ: $11^2$.

б) Чтобы представить число -32 в виде степени, нужно учесть, что результат отрицательный. Это возможно, если основание степени отрицательно, а показатель степени — нечетное число. Проверим степени числа 2: $2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32$. Мы видим, что $2^5=32$. Так как нам нужно получить -32, возьмем основание -2 и нечетный показатель 5: $(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$. Показатель степени равен 5, что отлично от 1.
Ответ: $(-2)^5$.

в) Для представления десятичной дроби 0,125 в виде степени удобно сначала перевести ее в обыкновенную дробь: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Теперь представим знаменатель 8 в виде степени. Мы знаем, что $8 = 2^3$. Тогда: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$. Переведем основание $\frac{1}{2}$ обратно в десятичную дробь: $\frac{1}{2} = 0,5$. Следовательно, $0,125 = 0,5^3$. Показатель степени равен 3, что отлично от 1.
Ответ: $0,5^3$.

г) Чтобы представить число 625 в виде степени, можно заметить, что оно оканчивается на 5, и проверить степени числа 5: $5^2 = 25$, $5^3 = 125$, $5^4 = 625$. Таким образом, $625 = 5^4$. Показатель степени 4 отличен от 1. Также можно заметить, что 625 — это квадрат числа 25: $25^2 = 625$. Показатель 2 также отличен от 1. Оба ответа являются верными.
Ответ: $5^4$ (или $25^2$).

д) Для представления отрицательной десятичной дроби -0,216 в виде степени, переведем ее в обыкновенную дробь: $-0,216 = -\frac{216}{1000}$. Так как результат отрицательный, ищем нечетный показатель. Заметим, что $1000 = 10^3$. Проверим, является ли 216 кубом какого-либо числа. $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$. Тогда: $-\frac{216}{1000} = -\frac{6^3}{10^3} = -(\frac{6}{10})^3$. Поскольку показатель 3 нечетный, минус можно внести в основание: $-(\frac{6}{10})^3 = (-\frac{6}{10})^3$. Переведем основание в десятичную дробь: $-\frac{6}{10} = -0,6$. Следовательно, $-0,216 = (-0,6)^3$. Показатель степени равен 3, что отлично от 1.
Ответ: $(-0,6)^3$.

е) Чтобы представить число 0,343 в виде степени, переведем его в обыкновенную дробь: $0,343 = \frac{343}{1000}$. Знаменатель $1000 = 10^3$, что наводит на мысль о показателе 3. Проверим, является ли числитель 343 кубом целого числа. Пробуем небольшие числа: $5^3=125, 6^3=216, 7^3=343$. Действительно, $343 = 7^3$. Следовательно: $\frac{343}{1000} = \frac{7^3}{10^3} = (\frac{7}{10})^3$. Переводя основание в десятичную дробь, получаем: $\frac{7}{10} = 0,7$. Таким образом, $0,343 = 0,7^3$. Показатель степени равен 3, что отлично от 1.
Ответ: $0,7^3$.