Номер 535, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 - номер 535, страница 124.

Условие.

535. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) (−0,03)⁸ и 0;
б) 0 и (−1,25)⁷;

в) (−1,75)³ и (−0,29)²;
г) 0,98⁶ и 1,02⁶.

Решение 1.

а) (−0,03)⁸ > 0;

б) 0 > (−1,25)⁷;

в) (−1,75)³ < (−0,29)²;

г) 0,98⁶ < 1,02⁶.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Сравним $ (-0,03)^8 $ и $0$.

Любое число, отличное от нуля, возведенное в четную степень, является положительным. Основание степени $(-0,03)$ — отрицательное число, а показатель степени $8$ — четное число. Следовательно, результат выражения $ (-0,03)^8 $ будет положительным числом.

Любое положительное число больше нуля. Таким образом, $ (-0,03)^8 > 0 $.

Ответ: $ (-0,03)^8 > 0 $.

б) Сравним $0$ и $ (-1,25)^7 $.

Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, является отрицательным. Основание степени $(-1,25)$ — отрицательное число, а показатель степени $7$ — нечетное число. Следовательно, результат выражения $ (-1,25)^7 $ будет отрицательным числом.

Ноль больше любого отрицательного числа. Таким образом, $ 0 > (-1,25)^7 $.

Ответ: $ 0 > (-1,25)^7 $.

в) Сравним $ (-1,75)^8 $ и $ (-0,29)^2 $.

Рассмотрим оба выражения. Оба являются отрицательными числами, возведенными в четную степень. Это означает, что оба результата будут положительными числами.

$ (-1,75)^8 = (1,75)^8 $

$ (-0,29)^2 = (0,29)^2 $

Теперь сравним $ (1,75)^8 $ и $ (0,29)^2 $.

Основание первого числа $ 1,75 > 1 $. При возведении числа, большего единицы, в положительную степень, результат становится еще больше. Значит, $ (1,75)^8 > 1,75 > 1 $.

Основание второго числа $0,29$ находится в интервале $ 0 < 0,29 < 1 $. При возведении такого числа в положительную степень, результат становится меньше. Значит, $ (0,29)^2 < 0,29 < 1 $.

Так как $ (1,75)^8 > 1 $, а $ (0,29)^2 < 1 $, то очевидно, что $ (1,75)^8 > (0,29)^2 $. Следовательно, и исходные выражения находятся в том же соотношении.

Ответ: $ (-1,75)^8 > (-0,29)^2 $.

г) Сравним $ 0,98^6 $ и $ 1,02^6 $.

В данном случае мы сравниваем два положительных числа, возведенных в одну и ту же положительную степень $6$.

Функция $ y = x^n $ (где $n > 0$) является возрастающей для положительных значений $x$. Это означает, что для $ a > b > 0 $ будет верным неравенство $ a^n > b^n $.

Сравним основания: $ 1,02 > 0,98 $.

Так как основания положительны и $ 1,02 > 0,98 $, то и $ 1,02^6 > 0,98^6 $.

Другой способ рассуждения: число $0,98$ меньше единицы, поэтому при возведении в степень оно станет еще меньше: $ 0,98^6 < 1 $. Число $1,02$ больше единицы, поэтому при возведении в степень оно станет еще больше: $ 1,02^6 > 1 $. Сравнивая число, меньшее 1, и число, большее 1, получаем $ 0,98^6 < 1,02^6 $.

Ответ: $ 0,98^6 < 1,02^6 $.