Номер 575, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 7 - номер 575, страница 127.

Условие.

575. Представьте произведение одночленов в виде степени некоторого одночлена:

а) 27a²b⁵ · 3a¹⁰b³;
б) −64a⁸x¹¹ · (−0,25a²x⁹);

в) 0,01b⁵c³ · (−0,1bc⁶);
г) −916p⁹q¹⁴ · 34p³q⁴.

Решение 1.

а) 27a²b⁵ · 3a¹⁰b³ = 81a¹²b⁸ =
= (3a³b²)⁴ или (9a⁶b⁴)²;

б) −64a⁸x¹¹ · (−0,25a²x⁹) =
= 16a¹⁰x²⁰ = (4a⁵x¹⁰)²;

в) 0,01b⁵c³ · (−0,1bc⁶) =
= -0,001b⁶c⁹ = (-0,1b²c³)³;

г) $-\frac{9}{16}{\mathrm{p}}^9{\mathrm{q}}^{14}·\frac{3}{4}{\mathrm{p}}^3{\mathrm{q}}^4=$

$=-\frac{27}{64}{\mathrm{p}}^{12}{\mathrm{q}}^{18}={\left(-\frac{3}{4}{\mathrm{p}}^4{\mathrm{q}}^6\right)}^3.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы представить произведение одночленов в виде степени некоторого другого одночлена, сначала выполним умножение данных одночленов.

$27d^2b^5 \cdot 3a^{10}b^3$

Сгруппируем и умножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$(27 \cdot 3) \cdot a^{10} \cdot (b^5 \cdot b^3) \cdot d^2 = 81 \cdot a^{10} \cdot b^{5+3} \cdot d^2 = 81a^{10}b^8d^2$.

Теперь представим полученный одночлен в виде степени. Для этого нужно найти такой показатель степени $k$, чтобы каждый множитель (коэффициент и переменные) можно было представить в этой степени. Используем свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Заметим, что $81 = 9^2$, $a^{10} = (a^5)^2$, $b^8 = (b^4)^2$, и $d^2 = (d^1)^2$. Общий показатель степени равен 2.

$81a^{10}b^8d^2 = 9^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (b^4)^2 \cdot d^2 = (9a^5b^4d)^2$.

Ответ: $(9a^5b^4d)^2$.

б)

Выполним умножение одночленов $-64a^8x^{11}$ и $(-0,25a^2x^9)$.

$-64a^8x^{11} \cdot (-0,25a^2x^9)$

Умножим коэффициенты: $-64 \cdot (-0,25) = -64 \cdot (-\frac{1}{4}) = 16$.

Умножим степени с одинаковыми основаниями: $a^8 \cdot a^2 = a^{8+2} = a^{10}$ и $x^{11} \cdot x^9 = x^{11+9} = x^{20}$.

Результат произведения: $16a^{10}x^{20}$.

Теперь представим этот результат в виде степени. Показатели степеней переменных равны 10 и 20. Их общий делитель равен 2. Проверим, подходит ли этот показатель для коэффициента.

$16 = 4^2$, $a^{10} = (a^5)^2$, $x^{20} = (x^{10})^2$.

Следовательно, $16a^{10}x^{20} = 4^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (x^{10})^2 = (4a^5x^{10})^2$.

Ответ: $(4a^5x^{10})^2$.

в)

Найдем произведение одночленов $0,01b^5c^3$ и $(-0,1bc^6)$.

$0,01b^5c^3 \cdot (-0,1bc^6)$

Умножим коэффициенты: $0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$.

Умножим переменные: $b^5 \cdot b = b^{5+1} = b^6$ и $c^3 \cdot c^6 = c^{3+6} = c^9$.

Результат произведения: $-0,001b^6c^9$.

Представим результат в виде степени. Показатели степеней переменных 6 и 9, их наибольший общий делитель равен 3. Проверим, подходит ли этот показатель для коэффициента.

$-0,001 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = (-0,1)^3$.

Представим переменные в виде степени с показателем 3: $b^6 = (b^2)^3$ и $c^9 = (c^3)^3$.

Таким образом, $-0,001b^6c^9 = (-0,1)^3 \cdot (b^2)^3 \cdot (c^3)^3 = (-0,1b^2c^3)^3$.

Ответ: $(-0,1b^2c^3)^3$.

г)

Выполним умножение одночленов: $-\frac{9}{16}p^9q^{14} \cdot \frac{3}{4}p^3q^4$.

$(-\frac{9}{16} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (p^9 \cdot p^3) \cdot (q^{14} \cdot q^4)$

Умножим коэффициенты: $-\frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 4} = -\frac{27}{64}$.

Умножим переменные: $p^9 \cdot p^3 = p^{9+3} = p^{12}$ и $q^{14} \cdot q^4 = q^{14+4} = q^{18}$.

Получим одночлен: $-\frac{27}{64}p^{12}q^{18}$.

Теперь представим его в виде степени. Наибольший общий делитель показателей 12 и 18 равен 6. Однако, для показателя 3 также можно найти решение, так как 3 является общим делителем 12 и 18. Проверим этот вариант.

Коэффициент: $-\frac{27}{64} = -\frac{3^3}{4^3} = (-\frac{3}{4})^3$.

Переменные: $p^{12} = (p^4)^3$ и $q^{18} = (q^6)^3$.

Объединяем все части: $-\frac{27}{64}p^{12}q^{18} = (-\frac{3}{4})^3 \cdot (p^4)^3 \cdot (q^6)^3 = (-\frac{3}{4}p^4q^6)^3$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}p^4q^6)^3$.