Номер 580, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 7 - номер 580, страница 128.

Условие.

580. Точка А(а; b) принадлежит графику функции:

а) у = х²; б) у = х³.

Принадлежат ли этому графику точки B(−a; b), С(а; −b), В(−a; −b)?

Решение 1.

A (a; b)

а) y = x²; b = a²;
B (-a; b); b = (-a)² = a² – верно;
C (a; -b); -b = a² – неверно;
D (-a; -b); -b = (-a)² = a² – неверно.

Ответ: принадлежит, не принадлежит, не принадлежит.

б) y = x³; b = a³;
B (-a; b); b = (-a)³ = -a³ – неверно;
C (a; -b); -b = a³ – неверно;
D (-a; -b); -b = (-a)³ = -a³;
b = a³ – верно.

Ответ: не принадлежит, не принадлежит, принадлежит.

Решение 2.

а) $y = x^2$

Поскольку точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции, ее координаты удовлетворяют уравнению $y = x^2$. Это означает, что выполняется равенство $b = a^2$. Мы будем использовать это равенство для проверки принадлежности других точек.

Проверка точки $B(-a; b)$:
Подставляем координаты точки $B$ в уравнение функции: $y = (-a)^2$.
Поскольку $(-a)^2 = a^2$, мы получаем уравнение $y = a^2$.
Так как ордината точки $B$ равна $b$, а мы знаем, что $b = a^2$, то равенство $b = (-a)^2$ является верным. Следовательно, точка $B$ принадлежит графику.

Проверка точки $C(a; -b)$:
Подставляем координаты точки $C$ в уравнение функции: $-b = a^2$.
Из условия мы знаем, что $b = a^2$. Заменив $b$ в нашем равенстве, получим $-(a^2) = a^2$, или $-a^2 = a^2$.
Это равенство верно только при $a^2 = 0$, то есть при $a=0$ (и $b=0$). В общем случае, когда $a \ne 0$, равенство неверно. Следовательно, точка $C$ не принадлежит графику (за исключением случая, когда $A$ - начало координат).

Проверка точки $D(-a; -b)$:
Подставляем координаты точки $D$ в уравнение функции: $-b = (-a)^2$.
Так как $(-a)^2 = a^2$, получаем равенство $-b = a^2$.
Это то же самое условие, что и для точки $C$, которое в общем случае неверно. Следовательно, точка $D$ не принадлежит графику.

Ответ: точка $B$ принадлежит графику, точки $C$ и $D$ не принадлежат.

б) $y = x^3$

Поскольку точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции, ее координаты удовлетворяют уравнению $y = x^3$. Это означает, что выполняется равенство $b = a^3$. Мы будем использовать это равенство для проверки других точек.

Проверка точки $B(-a; b)$:
Подставляем координаты точки $B$ в уравнение функции: $b = (-a)^3$.
Поскольку $(-a)^3 = -a^3$, мы получаем уравнение $b = -a^3$.
Из условия мы знаем, что $b = a^3$. Тогда наше равенство принимает вид $a^3 = -a^3$. Это верно только при $a=0$. В общем случае равенство неверно. Следовательно, точка $B$ не принадлежит графику.

Проверка точки $C(a; -b)$:
Подставляем координаты точки $C$ в уравнение функции: $-b = a^3$.
Из условия мы знаем, что $b = a^3$. Заменив $b$, получим $-(a^3) = a^3$, или $-a^3 = a^3$.
Это равенство также верно только при $a=0$. В общем случае оно неверно. Следовательно, точка $C$ не принадлежит графику.

Проверка точки $D(-a; -b)$:
Подставляем координаты точки $D$ в уравнение функции: $-b = (-a)^3$.
Так как $(-a)^3 = -a^3$, получаем равенство $-b = -a^3$.
Умножив обе части на $-1$, получим $b = a^3$. Это в точности совпадает с исходным условием. Следовательно, точка $D$ принадлежит графику.

Ответ: точка $D$ принадлежит графику, точки $B$ и $C$ не принадлежат.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.