Номер 586, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 8. Сумма и разность многочленов. 25. Многочлен и его стандартный вид - номер 586, страница 131.

Условие.

586. Представьте в стандартном виде многочлен:

а) −8р⁴ + 12р³ + 4р⁴ + 8р² + 3р²;

б) 2аа² + а² − 3а² + а³ − а;

в) 3хх⁴ + 3xx³ − 5х²х³ − 5х²х;

г) 3а · 4b² − 0,8b · 4b² − 2аb · 3b + b · 3b² − 1.

Решение 1.

а) −8р⁴ + 12р³ + 4р⁴ + 8р² +
+ 3р² = -4p⁴ + 12p³ - 5p²;

б) 2аа² + а² − 3а² + а³ − а =
= (2a³ + a³) - 2a² - a =
= 3a³ - 2a² - a;

в) 3хх⁴ + 3xx³ − 5х³х² −5х²х =
= 3x⁵ + 3x⁴ - 5x⁵ - 5x³ =
= -2x⁵ + 3x⁴ - 5x³;

г) 3а · 4b² − 0,8b · 4b² − 2аb ×
× 3b + b · 3b² − 1 =
= 12ab² - 3,2b³ - 6ab² + 3b³ - 1 =
= 6ab² - 0,2b³ - 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы представить многочлен в стандартном виде, необходимо выполнить два шага:

1. Привести каждый член многочлена к стандартному виду (то есть представить его в виде произведения числового множителя и степеней переменных).
2. Сложить подобные члены многочлена (члены с одинаковой буквенной частью) и расположить их в порядке убывания степеней.

а) $-8p^4 + 12p^3 + 4p^4 - 8p^2 + 3p^2$

1. Все члены многочлена уже представлены в стандартном виде. Найдем и сгруппируем подобные члены:

$(-8p^4 + 4p^4) + 12p^3 + (-8p^2 + 3p^2)$

2. Сложим коэффициенты у подобных членов:

$(-8 + 4)p^4 + 12p^3 + (-8 + 3)p^2 = -4p^4 + 12p^3 - 5p^2$

3. Члены многочлена уже расположены в порядке убывания степеней переменной $p$.

Ответ: $-4p^4 + 12p^3 - 5p^2$.

б) $2aa^2 + a^2 - 3a^2 + a^3 - a$

1. Приведем член $2aa^2$ к стандартному виду: $2aa^2 = 2a^{1+2} = 2a^3$.

Теперь многочлен выглядит так: $2a^3 + a^2 - 3a^2 + a^3 - a$.

2. Сгруппируем и сложим подобные члены:

$(2a^3 + a^3) + (a^2 - 3a^2) - a = (2+1)a^3 + (1-3)a^2 - a = 3a^3 - 2a^2 - a$

3. Члены многочлена расположены в порядке убывания степеней переменной $a$.

Ответ: $3a^3 - 2a^2 - a$.

в) $3xx^4 + 3xx^3 - 5x^2x^3 - 5x^2x$

1. Приведем все члены многочлена к стандартному виду, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$3xx^4 = 3x^{1+4} = 3x^5$

$3xx^3 = 3x^{1+3} = 3x^4$

$5x^2x^3 = 5x^{2+3} = 5x^5$

$5x^2x = 5x^{2+1} = 5x^3$

Многочлен принимает вид: $3x^5 + 3x^4 - 5x^5 - 5x^3$.

2. Сгруппируем и сложим подобные члены:

$(3x^5 - 5x^5) + 3x^4 - 5x^3 = (3-5)x^5 + 3x^4 - 5x^3 = -2x^5 + 3x^4 - 5x^3$

3. Члены многочлена расположены в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: $-2x^5 + 3x^4 - 5x^3$.

г) $3a \cdot 4b^2 - 0,8b \cdot 4b^2 - 2ab \cdot 3b + b \cdot 3b^2 - 1$

1. Приведем все члены многочлена к стандартному виду:

$3a \cdot 4b^2 = (3 \cdot 4)ab^2 = 12ab^2$

$0,8b \cdot 4b^2 = (0,8 \cdot 4)b^{1+2} = 3,2b^3$

$2ab \cdot 3b = (2 \cdot 3)ab^{1+1} = 6ab^2$

$b \cdot 3b^2 = 3b^{1+2} = 3b^3$

Многочлен принимает вид: $12ab^2 - 3,2b^3 - 6ab^2 + 3b^3 - 1$.

2. Сгруппируем и сложим подобные члены (члены с $ab^2$ и члены с $b^3$):

$(12ab^2 - 6ab^2) + (-3,2b^3 + 3b^3) - 1 = (12-6)ab^2 + (-3,2+3)b^3 - 1 = 6ab^2 - 0,2b^3 - 1$

3. Расположим члены многочлена в порядке убывания степеней переменной $b$ (это общепринятая практика для многочленов с несколькими переменными).

$-0,2b^3 + 6ab^2 - 1$

Ответ: $-0,2b^3 + 6ab^2 - 1$.