Номер 590, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 8. Сумма и разность многочленов. 25. Многочлен и его стандартный вид - номер 590, страница 131.

Условие.

590. Найдите значение многочлена 2х² + 1 при х = 0; −2; 3; −4. Существует ли такое значение х, при котором значение многочлена равно нулю; отрицательно?

Решение 1.

2x² + 1

при x = 0;
2 ⋅ 0² + 1 = 0 + 1 = 1;

при x = -2;
2 ⋅ (-2)² + 1 = 2 ⋅ 4 + 1 = 1;

при x = 3;
2 ⋅ 3² + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 = 19;

при x = -4;
2 ⋅ (-4)² + 1 = 2 ⋅ 16 + 1 = 33;

x² ≥ 0; 2x² + 1 > 0 при любых x. Значит, не существует такое значение x, при котором значение многочлена равно нулю; отрицательно.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Вычислим значение многочлена $2x^2 + 1$ при каждом из заданных значений переменной $x$.

При $x = 0$: $2 \cdot 0^2 + 1 = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.

При $x = -2$: $2 \cdot (-2)^2 + 1 = 2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9$.

При $x = 3$: $2 \cdot 3^2 + 1 = 2 \cdot 9 + 1 = 18 + 1 = 19$.

При $x = -4$: $2 \cdot (-4)^2 + 1 = 2 \cdot 16 + 1 = 32 + 1 = 33$.

Ответ: при $x=0$ значение равно 1; при $x=-2$ — 9; при $x=3$ — 19; при $x=-4$ — 33.

Существует ли такое значение x, при котором значение многочлена равно нулю?

Чтобы значение многочлена было равно нулю, должно выполняться уравнение $2x^2 + 1 = 0$. Попробуем решить его:

$2x^2 = -1$

$x^2 = -\frac{1}{2}$

Квадрат любого действительного числа ($x^2$) не может быть отрицательным. Так как в правой части уравнения стоит отрицательное число ($-\frac{1}{2}$), у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: не существует такого значения $x$, при котором значение многочлена равно нулю.

Существует ли такое значение x, при котором значение многочлена отрицательно?

Чтобы значение многочлена было отрицательным, должно выполняться неравенство $2x^2 + 1 < 0$. Проанализируем это неравенство:

$2x^2 < -1$

Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $2x^2$ также всегда неотрицательно: $2x^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу ($2x^2$) прибавить 1, то результат всегда будет больше или равен 1. То есть, $2x^2 + 1 \ge 1$.

Таким образом, значение многочлена $2x^2 + 1$ всегда положительно и не может быть не только отрицательным, но даже нулем.

Ответ: не существует такого значения $x$, при котором значение многочлена отрицательно.