Номер 581, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

581. Расположите порядке возрастания числа а, а² и а³, если:

а) если $0 < a < 1$

Чтобы сравнить числа $a$, $a^2$ и $a^3$, можно взять любое число из заданного интервала, например, $a = 0.5$. Тогда:

• $a = 0.5$
• $a^2 = (0.5)^2 = 0.25$
• $a^3 = (0.5)^3 = 0.125$

Сравнивая эти значения, получаем $0.125 < 0.25 < 0.5$. Следовательно, $a^3 < a^2 < a$.

В общем виде: при возведении в степень правильной дроби (числа от 0 до 1) результат становится меньше исходного числа. Так как $0 < a < 1$, то умножение неравенства $a < 1$ на положительное число $a$ сохраняет знак: $a \cdot a < 1 \cdot a \implies a^2 < a$. Аналогично, умножив $a^2 < a$ на $a$, получим: $a^2 \cdot a < a \cdot a \implies a^3 < a^2$. Объединяя неравенства, имеем $a^3 < a^2 < a$.

Ответ: $a^3, a^2, a$.

б) если $a > 1$

Возьмем для примера число $a = 2$, которое больше 1. Тогда:

• $a = 2$
• $a^2 = 2^2 = 4$
• $a^3 = 2^3 = 8$

Сравнивая значения, получаем $2 < 4 < 8$. Следовательно, $a < a^2 < a^3$.

В общем виде: при возведении в степень числа, большего 1, результат становится больше исходного числа. Так как $a > 1$, умножение на $a$ (положительное число) сохраняет знак неравенства: $a \cdot a > 1 \cdot a \implies a^2 > a$. Умножив $a^2 > a$ на $a$, получим: $a^2 \cdot a > a \cdot a \implies a^3 > a^2$. Таким образом, $a < a^2 < a^3$.

Ответ: $a, a^2, a^3$.

в) если $-1 < a < 0$

Возьмем для примера число $a = -0.5$ из этого интервала. Тогда:

• $a = -0.5$
• $a^2 = (-0.5)^2 = 0.25$
• $a^3 = (-0.5)^3 = -0.125$

Сравнивая эти числа, видим, что $a^2$ — единственное положительное число, значит, оно самое большое. Сравним отрицательные числа $a$ и $a^3$: $-0.5 < -0.125$, то есть $a < a^3$. Таким образом, порядок возрастания: $a < a^3 < a^2$.

В общем виде: для $a$ из интервала $(-1, 0)$ число $a$ отрицательно, $a^2$ положительно (квадрат отрицательного числа), а $a^3$ отрицательно (нечетная степень отрицательного числа). Следовательно, $a^2$ — наибольшее число. Сравним $a$ и $a^3$. Так как $-1 < a < 0$, то $0 < a^2 < 1$. Умножим неравенство $a^2 < 1$ на отрицательное число $a$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $a \cdot a^2 > a \cdot 1 \implies a^3 > a$. Итоговый порядок: $a < a^3 < a^2$.

Ответ: $a, a^3, a^2$.

г) если $a < -1$

Возьмем для примера число $a = -2$. Тогда:

• $a = -2$
• $a^2 = (-2)^2 = 4$
• $a^3 = (-2)^3 = -8$

Расположив числа в порядке возрастания, получаем: $-8 < -2 < 4$. Следовательно, $a^3 < a < a^2$.

В общем виде: если $a < -1$, то $a$ — отрицательное число. Тогда $a^2$ — положительное, а $a^3$ — отрицательное. Значит, $a^2$ — самое большое число. Сравним $a$ и $a^3$. Так как $a < -1$, то $a^2 > 1$. Умножим неравенство $a^2 > 1$ на отрицательное число $a$ (при этом знак неравенства изменится на противоположный): $a \cdot a^2 < a \cdot 1 \implies a^3 < a$. Получаем итоговый порядок: $a^3 < a < a^2$.

Ответ: $a^3, a, a^2$.