Номер 576, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

576. Упростите выражение:

а) Чтобы упростить выражение $(-x^2y^2)^4 \cdot (-xy)^2$, сначала возведем каждый из множителей в степень. При возведении в четную степень (4 и 2) отрицательные знаки становятся положительными. Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$.
$(-x^2y^2)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot (y^2)^4 = 1 \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot y^{2 \cdot 4} = x^8y^8$.
$(-xy)^2 = (-1)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 1 \cdot x^2y^2 = x^2y^2$.
Теперь перемножим полученные выражения: $x^8y^8 \cdot x^2y^2$. Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^8 \cdot x^2 \cdot y^8 \cdot y^2 = x^{8+2}y^{8+2} = x^{10}y^{10}$.
Ответ: $x^{10}y^{10}$

б) Упростим выражение $-(\frac{1}{3}xy^3)^2 \cdot (-3x)^3$.
Возведем в степень каждый множитель.
$-(\frac{1}{3}xy^3)^2 = - ((\frac{1}{3})^2 \cdot x^2 \cdot (y^3)^2) = -(\frac{1}{9}x^2y^6) = -\frac{1}{9}x^2y^6$.
$(-3x)^3 = (-3)^3 \cdot x^3 = -27x^3$.
Перемножим полученные результаты: $(-\frac{1}{9}x^2y^6) \cdot (-27x^3)$.
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(\frac{1}{9} \cdot 27) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot y^6 = 3 \cdot x^{2+3} \cdot y^6 = 3x^5y^6$.
Ответ: $3x^5y^6$

в) Упростим выражение $(-2x^3y^2)^3 \cdot (-2y^2)^3$.
Поскольку оба множителя возводятся в одну и ту же степень, мы можем использовать свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$((-2x^3y^2) \cdot (-2y^2))^3$.
Сначала выполним умножение внутри скобок: $(-2) \cdot (-2) \cdot x^3 \cdot y^2 \cdot y^2 = 4x^3y^{2+2} = 4x^3y^4$.
Теперь возведем результат в куб: $(4x^3y^4)^3 = 4^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^4)^3 = 64x^{3 \cdot 3}y^{4 \cdot 3} = 64x^9y^{12}$.
Ответ: $64x^9y^{12}$

г) Упростим выражение $(\frac{1}{3}a^2b)^3 \cdot (9ab^2)^2$.
Возведем каждый множитель в соответствующую степень.
$(\frac{1}{3}a^2b)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot b^3 = \frac{1}{27}a^6b^3$.
$(9ab^2)^2 = 9^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 81a^2b^4$.
Перемножим полученные выражения: $(\frac{1}{27}a^6b^3) \cdot (81a^2b^4)$.
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные: $(\frac{1}{27} \cdot 81) \cdot (a^6 \cdot a^2) \cdot (b^3 \cdot b^4) = 3a^{6+2}b^{3+4} = 3a^8b^7$.
Ответ: $3a^8b^7$

д) Упростим выражение $(-5a^3b)^2 \cdot (\frac{1}{5}ab^3)^3$.
Возведем каждый множитель в степень.
$(-5a^3b)^2 = (-5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot b^2 = 25a^6b^2$.
$(\frac{1}{5}ab^3)^3 = (\frac{1}{5})^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3 = \frac{1}{125}a^3b^9$.
Перемножим полученные выражения: $(25a^6b^2) \cdot (\frac{1}{125}a^3b^9)$.
Перемножим коэффициенты и переменные: $(25 \cdot \frac{1}{125}) \cdot (a^6 \cdot a^3) \cdot (b^2 \cdot b^9) = \frac{25}{125}a^{6+3}b^{2+9} = \frac{1}{5}a^9b^{11}$.
Ответ: $\frac{1}{5}a^9b^{11}$

е) Упростим выражение $(-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-3\frac{1}{2}a^3b)^2$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-3\frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$.
Выражение принимает вид: $(-\frac{2}{7}ab^4)^2 \cdot (-\frac{7}{2}a^3b)^2$.
Так как оба множителя в одинаковой степени, применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$((-\frac{2}{7}ab^4) \cdot (-\frac{7}{2}a^3b))^2$.
Умножим выражения в скобках: $(-\frac{2}{7} \cdot -\frac{7}{2}) \cdot (a \cdot a^3) \cdot (b^4 \cdot b) = 1 \cdot a^{1+3} \cdot b^{4+1} = a^4b^5$.
Возведем результат в квадрат: $(a^4b^5)^2 = a^{4 \cdot 2}b^{5 \cdot 2} = a^8b^{10}$.
Ответ: $a^8b^{10}$

ж) Упростим выражение $(x^3y)^2 \cdot (-5xy)^3$.
Возведем каждый множитель в степень.
$(x^3y)^2 = (x^3)^2 \cdot y^2 = x^6y^2$.
$(-5xy)^3 = (-5)^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = -125x^3y^3$.
Перемножим полученные выражения: $x^6y^2 \cdot (-125x^3y^3)$.
Сгруппируем и перемножим: $-125 \cdot (x^6 \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^3) = -125x^{6+3}y^{2+3} = -125x^9y^5$.
Ответ: $-125x^9y^5$

з) Упростим выражение $(\frac{1}{6}x^2y^2)^2 \cdot (-12x^3y^5)^2$.
Так как оба множителя в одинаковой степени, применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.
$((\frac{1}{6}x^2y^2) \cdot (-12x^3y^5))^2$.
Умножим выражения в скобках: $(\frac{1}{6} \cdot -12) \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^5) = -2x^{2+3}y^{2+5} = -2x^5y^7$.
Возведем результат в квадрат: $(-2x^5y^7)^2 = (-2)^2 \cdot (x^5)^2 \cdot (y^7)^2 = 4x^{5 \cdot 2}y^{7 \cdot 2} = 4x^{10}y^{14}$.
Ответ: $4x^{10}y^{14}$