Номер 578, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 7. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 578, страница 128.

Условие.

578. На рисунке 81 построены графики функций у = х, у = х²,у = х³, где х ≥ 0. Пользуясь графиком, сравните:

а)

0,23 и 0,23²;
0,23 и 0,23³;
0,23² и 0,23³;

б)

1,47 и 1,47²;
1,47 и 1,47³;
1,47² и 1,47³.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для сравнения чисел $0,23$, $0,23^2$ и $0,23^3$ воспользуемся предложенным графиком. Эти числа являются значениями функций $y=x$, $y=x^2$ и $y=x^3$ в точке $x=0,23$.

Поскольку $0 < 0,23 < 1$, мы рассматриваем поведение графиков на интервале $(0, 1)$. На графике видно, что для любого $x$ из этого интервала, график функции $y=x$ (синяя линия) лежит выше графика $y=x^2$ (черная линия), а тот, в свою очередь, выше графика $y=x^3$ (голубая линия). Это означает, что на интервале $(0, 1)$ выполняется двойное неравенство $x^3 < x^2 < x$.

Применив это свойство к $x=0,23$, получаем $0,23^3 < 0,23^2 < 0,23$. Исходя из этого:
- Сравнивая $0,23$ и $0,23^2$: так как значение на прямой $y=x$ больше значения на параболе $y=x^2$, то $0,23 > 0,23^2$.
- Сравнивая $0,23$ и $0,23^3$: так как значение на прямой $y=x$ больше значения на кубической параболе $y=x^3$, то $0,23 > 0,23^3$.
- Сравнивая $0,23^2$ и $0,23^3$: так как значение на параболе $y=x^2$ больше значения на кубической параболе $y=x^3$, то $0,23^2 > 0,23^3$.

Ответ: $0,23 > 0,23^2$; $0,23 > 0,23^3$; $0,23^2 > 0,23^3$.

б)

Для сравнения чисел $1,47$, $1,47^2$ и $1,47^3$ воспользуемся тем же подходом. Эти числа являются значениями функций $y=x$, $y=x^2$ и $y=x^3$ в точке $x=1,47$.

Поскольку $1,47 > 1$, мы рассматриваем поведение графиков при $x > 1$. На графике видно, что для любого $x$ из этого диапазона, график функции $y=x$ (синяя линия) лежит ниже графика $y=x^2$ (черная линия), а тот, в свою очередь, ниже графика $y=x^3$ (голубая линия). Это означает, что при $x > 1$ выполняется двойное неравенство $x < x^2 < x^3$.

Применив это свойство к $x=1,47$, получаем $1,47 < 1,47^2 < 1,47^3$. Исходя из этого:
- Сравнивая $1,47$ и $1,47^2$: так как значение на прямой $y=x$ меньше значения на параболе $y=x^2$, то $1,47 < 1,47^2$.
- Сравнивая $1,47$ и $1,47^3$: так как значение на прямой $y=x$ меньше значения на кубической параболе $y=x^3$, то $1,47 < 1,47^3$.
- Сравнивая $1,47^2$ и $1,47^3$: так как значение на параболе $y=x^2$ меньше значения на кубической параболе $y=x^3$, то $1,47^2 < 1,47^3$.

Ответ: $1,47 < 1,47^2$; $1,47 < 1,47^3$; $1,47^2 < 1,47^3$.