Номер 568, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 568, страница 127.

568. Докажите, что при любом натуральном k:

а) число 3^4k оканчивается единицей;

б) число 10^k − 1 кратно 3.

а)

Чтобы доказать, что число $3^{4k}$ оканчивается единицей при любом натуральном $k$, можно использовать два подхода.

Способ 1: Анализ последней цифры.

Рассмотрим, на какую цифру оканчиваются первые несколько натуральных степеней числа 3:

• $3^1 = 3$
• $3^2 = 9$
• $3^3 = 27$ (оканчивается на 7)
• $3^4 = 81$ (оканчивается на 1)
• $3^5 = 243$ (оканчивается на 3)

Видно, что последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1). Показатель степени в выражении $3^{4k}$ равен $4k$. Так как $k$ — натуральное число, то $4k$ всегда является числом, кратным 4. Это означает, что для любой степени вида $4k$ последняя цифра будет такой же, как у $3^4$, то есть 1.

Способ 2: Преобразование выражения.

Воспользуемся свойством степеней: $a^{mn} = (a^m)^n$.

$3^{4k} = (3^4)^k$

Вычислим значение $3^4$:

$3^4 = 81$

Тогда исходное выражение можно записать как $81^k$. Любое целое число, оканчивающееся на 1, при возведении в любую натуральную степень также будет оканчиваться на 1. Это легко показать: если число имеет вид $10n + 1$, то его квадрат $(10n + 1)^2 = 100n^2 + 20n + 1 = 10(10n^2 + 2n) + 1$ также оканчивается на 1. По индукции это верно для любой степени $k$.

Следовательно, число $81^k$, а значит и $3^{4k}$, при любом натуральном $k$ оканчивается на 1.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Чтобы доказать, что число $10^k - 1$ кратно 3 при любом натуральном $k$, также можно использовать несколько способов.

Способ 1: Использование признака делимости на 3.

При любом натуральном $k$ число $10^k$ — это единица с $k$ нулями ($10, 100, 1000, \dots$). Тогда число $10^k - 1$ состоит из $k$ идущих подряд девяток ($9, 99, 999, \dots$).

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа $10^k - 1$. Она равна:

$S = \underbrace{9 + 9 + \dots + 9}_{k \text{ слагаемых}} = 9k$

Поскольку $9k = 3 \cdot (3k)$, сумма цифр всегда делится на 3 без остатка. Следовательно, и само число $10^k - 1$ кратно 3.

Способ 2: Использование сравнений по модулю.

Нужно доказать, что $10^k - 1$ делится на 3, что эквивалентно $10^k - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Рассмотрим остаток от деления 10 на 3:

$10 = 3 \cdot 3 + 1 \implies 10 \equiv 1 \pmod{3}$

Согласно свойству сравнений, если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^k \equiv b^k \pmod{m}$. Возведем обе части сравнения в степень $k$:

$10^k \equiv 1^k \pmod{3}$

Так как $1^k = 1$ для любого $k$, получаем:

$10^k \equiv 1 \pmod{3}$

Вычтем 1 из обеих частей:

$10^k - 1 \equiv 1 - 1 \pmod{3} \implies 10^k - 1 \equiv 0 \pmod{3}$

Это означает, что $10^k - 1$ делится на 3 без остатка при любом натуральном $k$.

Ответ: Утверждение доказано.