Номер 518, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. О простых и составных числах. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 518, страница 123.

518. Пусть p − простое число. Укажите наименьшее значение p, при котором значение выражения 2^p − 1 не является простым числом.

По условию задачи, $p$ — простое число. Требуется найти наименьшее значение $p$, при котором выражение $2^p - 1$ не является простым числом, то есть является составным. Для этого будем последовательно проверять простые числа в порядке возрастания, начиная с наименьшего.

Ряд простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

1. Проверим наименьшее простое число $p=2$:
$2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$.
Число 3 является простым.

2. Проверим следующее простое число $p=3$:
$2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.
Число 7 является простым.

3. Проверим $p=5$:
$2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$.
Число 31 является простым.

4. Проверим $p=7$:
$2^7 - 1 = 128 - 1 = 127$.
Число 127 также является простым.

5. Проверим следующее простое число $p=11$:
$2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047$.
Теперь нужно проверить, является ли число 2047 простым. Для этого попробуем найти его делители. Будем последовательно проверять деление на простые числа. $2047$ не делится на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Проверим деление на 23: $2047 \div 23 = 89$.
Таким образом, мы нашли разложение числа: $2047 = 23 \times 89$. Поскольку число 2047 имеет делители, отличные от 1 и самого себя, оно является составным.

Следовательно, наименьшее простое число $p$, при котором выражение $2^p - 1$ не является простым, — это $p = 11$.

Ответ: 11.