Номер 4, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Параграф 7. Одночлены. Контрольные вопросы и задания - номер 4, страница 120.

Условие.

4 Сформулируйте свойства функции у = х². Как отражаются эти свойства на графике функции у = х²?

Решение 1.

1. Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел.
2. Если x = 0, то y = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.
3. Если x ≠ 0, то y > 0. Действительно, квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен. Значит, все точки графика функции, кроме точки (0; 0), расположены выше оси х.
4. Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (-x)² = x² при любом x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны, относительно оси y.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Рассмотрим свойства функции $y = x^2$ и их отражение на графике, который называется параболой.

1. Область определения

Свойство: Функция определена для всех действительных чисел, так как любое число можно возвести в квадрат. Математически это записывается как $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

Отражение на графике: График функции (парабола) является непрерывной линией, которая простирается бесконечно влево и вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Для любого значения $x$ на оси Ox можно найти соответствующую точку на параболе.

Ответ: Область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. График существует для любого $x$.

2. Область значений

Свойство: Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, значения функции $y$ всегда больше либо равны нулю. Математически это записывается как $E(f) = [0; +\infty)$.

Отражение на графике: Все точки параболы расположены в верхней полуплоскости (над осью Ox) и на самой оси Ox. Самая нижняя точка графика находится на оси Ox, и график никогда не опускается ниже этой оси.

Ответ: Область значений — все неотрицательные числа, $E(f) = [0; +\infty)$. График расположен не ниже оси Ox.

3. Четность

Свойство: Функция является четной. Это означает, что для противоположных значений аргумента значения функции равны: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$.

Отражение на графике: График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Если провести вертикальную прямую по оси Oy, то левая и правая ветви параболы будут зеркальным отражением друг друга.

Ответ: Функция четная. График симметричен относительно оси Oy.

4. Нули функции

Свойство: Значение функции равно нулю ($y=0$) только в одной точке: $x^2 = 0 \implies x=0$.

Отражение на графике: График пересекает ось абсцисс (Ox) только в одной точке — начале координат $(0, 0)$. Эта точка также является точкой пересечения с осью ординат.

Ответ: Функция имеет один нуль: $x=0$. График касается оси Ox в точке $(0, 0)$.

5. Промежутки монотонности

Свойство: Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Отражение на графике: Если двигаться по графику слева направо, то до вершины $(0,0)$ (то есть для всех $x<0$) график "спускается" вниз — это интервал убывания. После прохождения вершины (то есть для всех $x>0$) график "поднимается" вверх — это интервал возрастания.

Ответ: Функция убывает при $x \in (-\infty; 0]$ и возрастает при $x \in [0; +\infty)$. Левая ветвь параболы направлена вниз, правая — вверх.

6. Экстремумы (точки минимума и максимума)

Свойство: В точке $x=0$ функция принимает свое наименьшее значение, $y_{min}=0$. Это точка минимума. Наибольшего значения у функции нет, так как она неограниченно возрастает.

Отражение на графике: Точка $(0,0)$ является вершиной параболы — это самая низкая точка на всем графике. Ветви параболы направлены вверх, что показывает отсутствие максимального значения.

Ответ: В точке $x=0$ функция имеет минимум, равный 0. Точка $(0,0)$ — точка минимума функции и вершина параболы.