Номер 508, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Параграф 7. Одночлены. 23. Функции у = х^2 и у = х^3 и их графики - номер 508, страница 119.

Условие.

508. (Для работы в парах.) Используя график функции у = х², изображённый на рисунке 76, решите уравнение: а) х² = 4; б) х² = −1; в) х² = 5; г) х² = 0.

1) Распределите, кто выполняет задания а), б), а кто − задания в), г), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения х² = а при различных значениях а.

Решение 1.

а) х² = 4;
x = 2;
x = -2.

Ответ: -2; 2.

б) х² = −1;

Ответ: нет корней.

в) х² = 5;
x = 2,2;
x = -2,2.

Ответ: -2,2; 2,2.

г) х² = 0.
x = 0.

Ответ: 0.

3) при a > 0 уравнение х² = a имеет два корня;
при a = 0 уравнение х² = a имеет один корень;
при a < 0 уравнение х² = a корней не имеет.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения уравнений вида $x^2 = a$ графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = a$. Корнями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. График функции $y = a$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0, a)$ на оси ординат (оси $Oy$).

а) $x^2 = 4$

Чтобы решить уравнение $x^2 = 4$, рассмотрим пересечение параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4$. Прямая $y=4$ — это горизонтальная линия, проходящая через точку $(0, 4)$. Эта прямая пересекает параболу в двух точках. Чтобы найти их абсциссы, находим на графике $y = x^2$ точки, у которых ордината (координата $y$) равна 4. Таких точек две, их координаты $(-2, 4)$ и $(2, 4)$. Следовательно, абсциссы точек пересечения равны $-2$ и $2$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 2$.

б) $x^2 = -1$

Для решения уравнения $x^2 = -1$ ищем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = -1$. Прямая $y = -1$ — это горизонтальная линия, проходящая через точку $(0, -1)$, то есть она расположена ниже оси абсцисс. Парабола $y = x^2$ целиком находится в верхней полуплоскости (все её значения $y \ge 0$), её самая нижняя точка — это вершина $(0, 0)$. Таким образом, прямая $y = -1$ и парабола $y = x^2$ не имеют общих точек. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

в) $x^2 = 5$

Решение уравнения $x^2 = 5$ сводится к нахождению абсцисс точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 5$. Прямая $y=5$ — это горизонтальная линия, которая пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$. Абсциссы этих точек и являются корнями уравнения. Из уравнения $x^2=5$ следует, что $x = \pm\sqrt{5}$. На графике мы видим, что одна точка пересечения имеет положительную абсциссу (немного больше 2), а другая — отрицательную, равную ей по модулю.

Ответ: $x_1 = -\sqrt{5}, x_2 = \sqrt{5}$.

г) $x^2 = 0$

Для решения уравнения $x^2 = 0$ находим точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 0$. Прямая $y=0$ — это ось абсцисс ($Ox$). Парабола $y = x^2$ имеет с осью абсцисс только одну общую точку — это её вершина, точка $(0, 0)$. Абсцисса этой точки равна 0. Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $x = 0$.

3) Сделайте вывод о числе корней уравнения $x^2=a$ при различных значениях $a$.

Проанализировав решения, можно сделать вывод о количестве корней уравнения $x^2 = a$ в зависимости от значения параметра $a$. Количество корней равно количеству точек пересечения параболы $y=x^2$ и прямой $y=a$.

• Если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках. Уравнение имеет два корня: $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$.
• Если $a = 0$, прямая $y=a$ (ось $Ox$) касается параболы $y=x^2$ в одной точке — вершине. Уравнение имеет один корень: $x = 0$.
• Если $a < 0$, прямая $y=a$ не имеет общих точек с параболой $y=x^2$. Уравнение не имеет действительных корней.