Номер 509, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

23. Функции у = х^2 и у = х^3 и их графики. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 509, страница 120.

509. Решите графически уравнение:

а) х² = х + 6; б) х² + 2х − 3 = 0.

а) $x^2 = x + 6$

Для того чтобы решить уравнение графически, необходимо представить левую и правую части уравнения в виде отдельных функций. Построим графики этих функций в одной системе координат.

1. Первая функция — $y = x^2$. Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке (0, 0). Составим таблицу значений для построения:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = x^2$	9	4	1	0	1	4	9

2. Вторая функция — $y = x + 6$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 6 = 6$. Точка (0, 6).
• Если $x = -2$, то $y = -2 + 6 = 4$. Точка (-2, 4).

3. Построим оба графика в одной системе координат. Решениями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения параболы и прямой.

Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках. Определим их координаты:

• Первая точка пересечения: (-2, 4).
• Вторая точка пересечения: (3, 9).

Абсциссы этих точек равны -2 и 3.

Ответ: -2; 3.

б) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Для графического решения преобразуем уравнение так, чтобы в левой части осталась функция $x^2$. Для этого перенесем остальные члены в правую часть:

$x^2 = -2x + 3$

Теперь, как и в предыдущем пункте, построим графики двух функций в одной системе координат: $y = x^2$ и $y = -2x + 3$.

1. График функции $y = x^2$ — это та же парабола с вершиной в точке (0, 0).

2. График функции $y = -2x + 3$ — это прямая. Найдем две точки для ее построения:

• Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка (0, 3).
• Если $x = 1$, то $y = -2 \cdot 1 + 3 = 1$. Точка (1, 1).

3. Построим графики параболы и прямой в одной системе координат. Абсциссы точек их пересечения будут являться корнями уравнения.

На графике мы видим две точки пересечения:

• Первая точка пересечения: (-3, 9). (Проверка: $y = (-3)^2 = 9$; $y = -2(-3) + 3 = 6 + 3 = 9$).
• Вторая точка пересечения: (1, 1). (Проверка: $y = 1^2 = 1$; $y = -2(1) + 3 = 1$).

Абсциссы этих точек равны -3 и 1.

Ответ: -3; 1.