Номер 481, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

21. Одночлен и его стандартный вид. § 7. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 481, страница 112.

481. Найдите значение выражения: а) 4³ · 3¹⁰6¹⁰; б) 2⁶ · 6¹⁸2²⁵ · 9⁹.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{4^8 \cdot 3^{10}}{6^{10}}$, преобразуем его, приведя степени к общим основаниям. Для этого разложим основания 4 и 6 на простые множители.
Основание 4 можно представить как $2^2$.
Основание 6 можно представить как произведение $2 \cdot 3$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\frac{(2^2)^8 \cdot 3^{10}}{(2 \cdot 3)^{10}}$
Теперь воспользуемся свойствами степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
$\frac{2^{2 \cdot 8} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{2^{16} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{10}}$
Сократим в числителе и знаменателе общий множитель $3^{10}$:
$\frac{2^{16}}{2^{10}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$2^{16-10} = 2^6$
Вычислим полученное значение:
$2^6 = 64$
Ответ: 64

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{2^6 \cdot 6^{18}}{2^{25} \cdot 9^9}$, также разложим составные основания 6 и 9 на простые множители.
Основание 6 это $2 \cdot 3$.
Основание 9 это $3^2$.
Подставим эти разложения в выражение:
$\frac{2^6 \cdot (2 \cdot 3)^{18}}{2^{25} \cdot (3^2)^9}$
Применим свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$\frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{2 \cdot 9}} = \frac{2^6 \cdot 2^{18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$
Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$\frac{2^{6+18} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}} = \frac{2^{24} \cdot 3^{18}}{2^{25} \cdot 3^{18}}$
Сократим дробь на общий множитель $3^{18}$:
$\frac{2^{24}}{2^{25}}$
Используем правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$2^{24-25} = 2^{-1}$
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$