Номер 432, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Умножение и деление степеней. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 432, страница 104.

432. Найдите значение дроби:

$\mathrm{а}) \frac{8^6}{8^4};$ $\mathrm{б}) \frac{0,8^7}{0,8^4};$ $\mathrm{в}) \frac{{(-0,3)}^5}{{(-0,3)}^3};$ $\mathrm{г}) \frac{{\left(1{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^4}{{\left(1\frac{1}{2}\right)}^2};$ $\mathrm{д}) \frac{{(-2{\displaystyle \frac{1}{3}})}^6}{{(-2\frac{1}{3})}^3}.$

а) Для нахождения значения дроби воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{8^6}{8^4} = 8^{6-4} = 8^2 = 64$.

Ответ: 64.

б) Применим то же свойство степени для десятичных дробей.

$\frac{0,8^7}{0,8^4} = 0,8^{7-4} = 0,8^3 = 0,8 \times 0,8 \times 0,8 = 0,512$.

Ответ: 0,512.

в) Свойство деления степеней с одинаковым основанием справедливо и для отрицательных оснований.

$\frac{(-0,3)^5}{(-0,3)^3} = (-0,3)^{5-3} = (-0,3)^2 = 0,09$.

Ответ: 0,09.

г) В данном случае основанием является смешанное число. Сначала применим свойство частного степеней, а затем выполним вычисления. Для удобства можно преобразовать смешанное число в неправильную дробь.

$\frac{(1\frac{1}{2})^4}{(1\frac{1}{2})^2} = (1\frac{1}{2})^{4-2} = (1\frac{1}{2})^2$.

Преобразуем $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь возведем в квадрат: $(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$.

Ответ: $2\frac{1}{4}$.

д) Здесь основание — отрицательное смешанное число. Алгоритм решения аналогичен предыдущему пункту.

$\frac{(-2\frac{1}{3})^6}{(-2\frac{1}{3})^3} = (-2\frac{1}{3})^{6-3} = (-2\frac{1}{3})^3$.

Преобразуем $-2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $-2\frac{1}{3} = -(\frac{2 \times 3 + 1}{3}) = -\frac{7}{3}$.

Возведем в куб: $(-\frac{7}{3})^3 = -(\frac{7^3}{3^3}) = -\frac{343}{27}$.

Выделим целую часть: $-\frac{343}{27} = -12\frac{19}{27}$.

Ответ: $-12\frac{19}{27}$.