Номер 431, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

431. Найдите значение выражения:

$\mathrm{а}) 5^6 : 5^4;$

$\mathrm{б}) {10}^{15} : {10}^{12};$

$\mathrm{в}) 0,5^{10} : 0,5^7;$

$\mathrm{г}) {\left(1\frac{1}{3}\right)}^8: {\left(1\frac{1}{3}\right)}^6;$

$\mathrm{д}) 2,{73}^{13} : 2,{73}^{12};$

$\mathrm{е}) {(-\frac{2}{3})}^7: {(-\frac{2}{3})}^4;$

Для решения всех пунктов используется свойство частного степеней с одинаковым основанием, которое гласит: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).

а) $5^6 : 5^4$

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием. Основание равно 5, показатели степеней — 6 и 4.

$5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25$.

Ответ: 25

б) $10^{15} : 10^{12}$

Используем то же правило. Основание равно 10, показатели степеней — 15 и 12.

$10^{15} : 10^{12} = 10^{15-12} = 10^3 = 1000$.

Ответ: 1000

в) $0,5^{10} : 0,5^7$

Основание равно 0,5, показатели степеней — 10 и 7.

$0,5^{10} : 0,5^7 = 0,5^{10-7} = 0,5^3$.

Вычислим значение: $0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125$.

Ответ: 0,125

г) $(1\frac{1}{3})^8 : (1\frac{1}{3})^6$

Основание равно $1\frac{1}{3}$, показатели степеней — 8 и 6.

$(1\frac{1}{3})^8 : (1\frac{1}{3})^6 = (1\frac{1}{3})^{8-6} = (1\frac{1}{3})^2$.

Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Теперь возведем в квадрат: $(\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$.

Ответ: $1\frac{7}{9}$

д) $2,73^{13} : 2,73^{12}$

Основание равно 2,73, показатели степеней — 13 и 12.

$2,73^{13} : 2,73^{12} = 2,73^{13-12} = 2,73^1 = 2,73$.

Ответ: 2,73

е) $(-\frac{2}{3})^7 : (-\frac{2}{3})^4$

Основание равно $(-\frac{2}{3})$, показатели степеней — 7 и 4.

$(-\frac{2}{3})^7 : (-\frac{2}{3})^4 = (-\frac{2}{3})^{7-4} = (-\frac{2}{3})^3$.

Возведем в куб: $(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.

Ответ: $-\frac{8}{27}$